Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 10 № 250

Большее основание равнобедренной трапеции равно боковой стороне, а диагонали делятся точкой пересечения в отношении 3 : 13. Найдите площадь трапеции, если ее высота равна 24 см.

Спрятать решение

Решение.

 

Треугольник CDA — равнобедренный, так как по условию CD = AD, значит углы CAD и DAC равны. Угол DAC равен углу BCA, так как они накрест лежащие при параллельных основаниях трапеции, а значит, диагональ AC — биссектриса угла BCD, тогда по свойству биссектрисы:  дробь, числитель — BC, знаменатель — CD = дробь, числитель — BO, знаменатель — OD . Так как BO : OD = 3 : 13, то BC : CD = 3 : 13.

 

Обозначим сторону BC за 3x, тогда AD = AB = DC = 13x. Проведем высоты CH и BM. Так как AM = HD, найдем AM: AM  =  HD = (AD − MH) : 2 = (AD − BC) : 2. Имеем: AM = (13x − 3x) : 2 = 5x. Найдем BM по теореме Пифагора: BM в степени 2 =AB в степени 2 минус AM в степени 2 равносильно BM= корень из { AB в степени 2 минус AM в степени 2 }. Подставим и получим, что BM = 12x. Так как по условию BM  =  24, то x = 2. Найдем площадь: S= дробь, числитель — 3 умножить на 2 плюс 13 умножить на 2, знаменатель — 2 умножить на 24 =384.

 

Ответ: 384.

Классификатор геометрии: 3.2 Трапеция