Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 30
i

В угол впи­са­ны две ка­са­ю­щи­е­ся внеш­ним об­ра­зом окруж­но­сти. Длина боль­шей из них равна 12 Пи см, рас­сто­я­ние от ее цен­тра до вер­ши­ны угла равно 30 см. Най­ди­те длину мень­шей окруж­но­сти.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.), где x  — ра­ди­ус мень­шей окруж­но­сти. Фор­му­ла длины окруж­но­сти L=2 Пи r, тогда ра­ди­ус боль­ше окруж­но­сти равен 6. За­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки AO1M и AO2K по­доб­ны по двум рав­ным углам, один из ко­то­рых пря­мой, а вто­рой  — общий. Тогда из по­до­бия тре­уголь­ни­ков по­лу­ча­ем ра­вен­ство от­но­ше­ний их сто­рон  дробь: чис­ли­тель: O_1M, зна­ме­на­тель: O_2K конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AO_1, зна­ме­на­тель: AO_2 конец дроби :

 дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AO_1, зна­ме­на­тель: 30 конец дроби рав­но­силь­но AO_1=5x.

Те­перь, ис­поль­зуя тот факт, что рас­сто­я­ние от цен­тра боль­шей окруж­но­сти до вер­ши­ны угла равно 5x + x + 6, имеем 5x плюс x плюс 6=30 рав­но­силь­но 6x=24 рав­но­силь­но x=4. По­след­ним шагом на­ше­го ре­ше­ния найдём длину окруж­но­сти по фор­му­ле, при­ведённой выше L=2 Пи умно­жить на 4=8 Пи см.

 

Ответ: 8π см.

Классификатор геометрии: 4.1 Окруж­ность, длина окруж­но­сти
Источник: Ва­ри­ант № 1