Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 390
i

В тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­но, что AB = 2 см и AC = 4 см. Ме­ди­а­на, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны A, равна  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та см. Най­ди­те угол A дан­но­го тре­уголь­ни­ка.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

До­стро­им тре­уголь­ник ABC до па­рал­ле­ло­грам­ма ABCM. Тогда Р  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей, зна­чит, AM=2AP=2 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та см.

При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке AMC:

AM в квад­ра­те =AC в квад­ра­те плюс MC в квад­ра­те минус 2CM умно­жить на AC умно­жить на ко­си­нус ACM

 левая круг­лая скоб­ка 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =4 в квад­ра­те плюс 2 в квад­ра­те минус 2 умно­жить на 4 умно­жить на 2 умно­жить на ко­си­нус ACM

12=20 минус 16 ко­си­нус ACM

 ко­си­нус ACM= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но \angle ACM=60 гра­ду­сов

 

Так как ABCM  —па­рал­ле­ло­грамм по по­стро­е­нию, то ис­ко­мый \angle A=180 гра­ду­сов минус 60 гра­ду­сов=120 гра­ду­сов.

 

Ответ: 120 гра­ду­сов.

Классификатор геометрии: 2.3 Про­из­воль­ный тре­уголь­ник
Источник: Ва­ри­ант № 37