Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 70
i

Около пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка опи­са­на окруж­ность, и в этот же мно­го­уголь­ник впи­са­на еще одна окруж­ность. Пло­щадь коль­ца, огра­ни­чен­но­го этими окруж­но­стя­ми, равна 64 Пи см2. Най­ди­те длину сто­ро­ны мно­го­уголь­ни­ка.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть хорда AB  — сто­ро­на пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка, R  — ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти, а r, со­от­вет­ствен­но,  —  впи­сан­ной, тогда H  — точка ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти со сто­ро­ной AB пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка, при­чем точка H делит её на два рав­ных от­рез­ка. Тогда, S_o=S_1 минус S_2= Пи R в квад­ра­те минус Пи r в квад­ра­те = Пи левая круг­лая скоб­ка R в квад­ра­те минус r в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка . Так как S_o=64 Пи , то R в квад­ра­те минус r в квад­ра­те =64. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AOH найдём AH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: AH в квад­ра­те =AO в квад­ра­те минус OH в квад­ра­те =R в квад­ра­те минус r в квад­ра­те =64. А зна­чит, AH  =  8, а AB  =  16.

 

Ответ: 16.

Классификатор геометрии: 4.5 Впи­сан­ные окруж­но­сти, 4.6 Опи­сан­ные окруж­но­сти
Источник: Ва­ри­ант № 5