Пред­ставь­те сумму 2 · 16ⁿ + 2ⁿ · 8ⁿ + 4²ⁿ, где в виде сте­пе­ни с ос­но­ва­ни­ем 2.

Пред­ставь­те сумму 9^3m + 9^m · 81^m + 27^2m, где в виде сте­пе­ни с ос­но­ва­ни­ем 3.

В тре­уголь­ни­ке CDE из­вест­но, что CD = 8 см, DE = 10 см, CE = 12 см, DK  — бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка CDE. Най­ди­те длину от­рез­ка DK.

В тре­уголь­ни­ке CDE из­вест­но, что CD = 12 см, DE = 15 см, CE = 18 см, DK  — бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка CDE. Най­ди­те длину от­рез­ка DK.

Ре­ши­те дроб­но-ра­ци­о­наль­ное урав­не­ние

Ре­ши­те дроб­но-ра­ци­о­наль­ное урав­не­ние

До­ка­жи­те, что зна­че­ние вы­ра­же­ния яв­ля­ет­ся целым чис­лом.

До­ка­жи­те, что зна­че­ние вы­ра­же­ния яв­ля­ет­ся целым чис­лом.

Из пунк­тов А и В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 18 км, вышли од­но­вре­мен­но нав­стре­чу друг другу два пе­ше­хо­да и встре­ти­лись через 2 ч. После встре­чи они, не оста­нав­ли­ва­ясь, про­дол­жи­ли дви­же­ние каж­дый в своем на­прав­ле­нии. Най­ди­те ско­рость каж­до­го пе­ше­хо­да, если один из них при­был в пункт В на 54 мин рань­ше, чем дру­гой в пункт А.

Из пунк­та А в пункт В вы­ехал ве­ло­си­пе­дист. Од­но­вре­мен­но с ним из пунк­та В нав­стре­чу ве­ло­си­пе­ди­сту вышел пе­ше­ход, и они встре­ти­лись через 1 ч. После встре­чи они, не оста­нав­ли­ва­ясь, про­дол­жи­ли дви­же­ние каж­дый в своем на­прав­ле­нии. Най­ди­те ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста и пе­ше­хо­да, если из­вест­но, что ве­ло­си­пе­дист при­был в пункт В на 2 ч 40 мин рань­ше, чем пе­ше­ход в пункт A, а рас­сто­я­ние между этими пунк­та­ми со­став­ля­ет 16 км.

Со­кра­ти­те дробь

Со­кра­ти­те дробь

Сколь­ко грам­мов 4%-го и сколь­ко грам­мов 10%-го рас­тво­ров соли надо взять, чтобы по­лу­чить 180 г 6%-го рас­тво­ра?

Один сплав со­дер­жит 20 % меди, а дру­гой сплав  — 50 % меди. Сколь­ко ки­ло­грам­мов 20%-го и сколь­ко ки­ло­грам­мов 50%-го спла­вов меди надо взять, чтобы по­лу­чить 30 кг 30%-го спла­ва?

Из пунк­та А вышел пе­ше­ход, а через 1 ч 40 мин после этого в том же на­прав­ле­нии вы­ехал ве­ло­си­пе­дист, ко­то­рый до­гнал пе­ше­хо­да на рас­сто­я­нии 12 км от А. Най­ди­те ско­ро­сти пе­ше­хо­да и ве­ло­си­пе­ди­ста, если за 2 ч пе­ше­ход про­хо­дит на 1 км мень­ше, чем ве­ло­си­пе­дист про­ез­жа­ет за 1 ч.

Из пунк­та А вы­ехал ве­ло­си­пе­дист, а через 45 мин после этого в том же на­прав­ле­нии вы­ехал гру­зо­вик, ко­то­рый до­гнал ве­ло­си­пе­ди­ста на рас­сто­я­нии 15 км от А. Най­ди­те ско­ро­сти ве­ло­си­пе­ди­ста и гру­зо­ви­ка, если за 2 ч гру­зо­вик про­ез­жа­ет на 48 км боль­ше, чем ве­ло­си­пе­дист за 1 ч.

В пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции мень­шее ос­но­ва­ние равно 12 см, ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен 8 см. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

В пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции боль­шее ос­но­ва­ние равно 24 см, ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен 6 см. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Две бри­га­ды, ра­бо­тая вме­сте, могут вы­пол­нить не­ко­то­рую ра­бо­ту за 5 дней. Пер­вая бри­га­да может са­мо­сто­я­тель­но спра­вить­ся с этой ра­бо­той на 24 дня быст­рее вто­рой. Най­ди­те, за сколь­ко дней смо­жет вы­пол­нить эту ра­бо­ту пер­вая бри­га­да, если будет ра­бо­тать одна.

Две бри­га­ды, ра­бо­тая вме­сте, могут вы­пол­нить не­ко­то­рую ра­бо­ту за 8 дней. Пер­вая бри­га­да может са­мо­сто­я­тель­но спра­вить­ся с этой ра­бо­той на 30 дней быст­рее вто­рой. Най­ди­те, за сколь­ко дней смо­жет вы­пол­нить эту ра­бо­ту пер­вая бри­га­да, если будет ра­бо­тать одна.

Диа­го­наль ромба делит его вы­со­ту, про­ве­ден­ную из вер­ши­ны ту­по­го угла, на от­рез­ки дли­ной 10 см и 6 см. Най­ди­те пе­ри­метр ромба.

Диа­го­наль ромба делит его вы­со­ту, про­ве­ден­ную из вер­ши­ны ту­по­го угла, на от­рез­ки дли­ной 25 см и 15 см. Най­ди­те пе­ри­метр ромба.

Товар стоил 100 р. После того как цена была сни­же­на два­жды, он стал сто­ить 59 руб. 50 коп. При этом про­цент сни­же­ния во вто­рой раз был в 2 раза боль­ше, чем в пер­вый. На сколь­ко про­цен­тов сни­зи­лась цена то­ва­ра в пер­вый раз?

Товар стоил 100 р. После того как цена была сни­же­на два­жды, он стал сто­ить 85 руб. 50 коп. При этом про­цент сни­же­ния во вто­рой раз был в 2 раза боль­ше, чем в пер­вый. На сколь­ко про­цен­тов сни­зи­лась цена то­ва­ра в пер­вый раз?

Сосна на 25% выше ели. Если каж­дое де­ре­во под­рас­тет на 1,8 м, то сосна будет на 10% выше ели. Най­ди­те пер­во­на­чаль­ную вы­со­ту ели.

Сосна на 25% выше ели. Если каж­дое де­ре­во под­рас­тет на 2,1 м, то сосна будет на 10% выше ели. Най­ди­те пер­во­на­чаль­ную вы­со­ту ели.

Най­ди­те сумму всех трех­знач­ных на­ту­раль­ных чисел, ко­то­рые при де­ле­нии на 13 дают в остат­ке 7.

Най­ди­те сумму всех трех­знач­ных на­ту­раль­ных чисел, ко­то­рые при де­ле­нии на 19 дают в остат­ке 6.

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD вы­со­та BD равна 10 см, AC = 26 см. На пря­мой AD взята точка P. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка PBC.

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD вы­со­та BD равна 12 см, AC = 20 см. На пря­мой AD взята точка K. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка KBC.

Двум бри­га­дам было по­ру­че­но вы­са­дить де­ко­ра­тив­ные кусты для укра­ше­ния го­ро­да. Пер­вая бри­га­да вы­са­ди­ла 120 ку­стов, а вто­рая  — 144 куста. Пер­вая бри­га­да вы­са­жи­ва­ла на 4 куста в час боль­ше, чем вто­рая, и ра­бо­та­ла на 3 ч мень­ше вто­рой. Най­ди­те, сколь­ко де­ко­ра­тив­ных ку­стов вы­са­жи­ва­ла каж­дая бри­га­да за 1 ч.

Двум ра­бот­ни­кам было по­ру­че­но вы­са­дить цве­точ­ную рас­са­ду для укра­ше­ния парка. Пер­вый ра­бот­ник вы­са­дил 360 ку­стов рас­са­ды, а вто­рой  — 480 ку­стов. Пер­вый ра­бот­ник вы­са­жи­вал на 10 ку­стов в час мень­ше, чем вто­рой, и ра­бо­тал на 2 ч доль­ше вто­ро­го. Най­ди­те, сколь­ко ку­стов рас­са­ды вы­са­жи­вал каж­дый ра­бот­ник за 1 ч.

От­ре­зок CM яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой тре­уголь­ни­ка ABC. Из­вест­но, что см², а см². Най­ди­те длину от­рез­ка BC, если от­ре­зок см.

От­ре­зок BL яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой тре­уголь­ни­ка ABC. Из­вест­но, что см², а см². Най­ди­те длину от­рез­ка AB, если от­ре­зок см.

Опыт­ный ку­рьер раз­во­зит 60 за­ка­зов на 3 дня быст­рее, чем ста­жер. Най­ди­те, за сколь­ко дней ста­жер раз­ве­зет 90 за­ка­зов, если при сов­мест­ной ра­бо­те они за 1 день раз­во­зят 30 за­ка­зов.

Ма­стер из­го­тав­ли­ва­ет 120 де­та­лей на 6 ч быст­рее, чем прак­ти­кант. Най­ди­те, за какое время прак­ти­кант из­го­то­вит 50 де­та­лей, если при сов­мест­ной ра­бо­те они за 1 ч из­го­тав­ли­ва­ют 30 де­та­лей.

Упро­сти­те вы­ра­же­ние

Упро­сти­те вы­ра­же­ние

Корни x₁ и x₂ урав­не­ния удо­вле­тво­ря­ют усло­вию Най­ди­те корни урав­не­ния и зна­че­ние c.

Корни x₁ и x₂ урав­не­ния удо­вле­тво­ря­ют усло­вию Най­ди­те корни урав­не­ния и зна­че­ние c.

Ре­ши­те урав­не­ние

Ре­ши­те урав­не­ние

Ре­ши­те двой­ное не­ра­вен­ство

Ре­ши­те двой­ное не­ра­вен­ство

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Точка K лежит на сто­ро­не BC тре­уголь­ни­ка ABC Из­вест­но, что BK = 9 см, KC = 7 см, угол B = 30° угол BAK равен углу C. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABK.

Точка K лежит на сто­ро­не BC тре­уголь­ни­ка ABC Из­вест­но, что CK = 4 см, KB = 5 см, угол C = 30° угол CAK равен углу B. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ACK.

В ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии 10 чле­нов. Сумма чле­нов с чет­ны­ми но­ме­ра­ми равна 40, а сумма чле­нов с не­чет­ны­ми но­ме­ра­ми равна 15. Най­ди­те раз­ность про­грес­сии.

В ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии 10 чле­нов. Сумма чле­нов с чет­ны­ми но­ме­ра­ми равна 30, а сумма чле­нов с не­чет­ны­ми но­ме­ра­ми равна 25. Най­ди­те раз­ность про­грес­сии.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Ре­ши­те урав­не­ние

Ре­ши­те урав­не­ние

Опре­де­ли­те число ре­ше­ний си­сте­мы урав­не­ний

Опре­де­ли­те число ре­ше­ний си­сте­мы урав­не­ний

Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го участ­ка для пла­ни­ру­е­мой дет­ской пло­щад­ки долж­на быть не мень­ше 39 м² и не боль­ше 144 м². Ка­ки­ми могут быть раз­ме­ры участ­ка, если со­глас­но про­ект­ной до­ку­мен­та­ции его длина долж­на быть на 10 м боль­ше ши­ри­ны?

Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го участ­ка для пла­ни­ру­е­мой дет­ской пло­щад­ки долж­на быть не мень­ше 48 м² и не боль­ше 128 м². Ка­ки­ми могут быть раз­ме­ры участ­ка, если со­глас­но про­ект­ной до­ку­мен­та­ции его длина долж­на быть на 8 м боль­ше ши­ри­ны?

Из­вест­но, что 1 < a < 4, 2 < b < 7. Оце­ни­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Из­вест­но, что 2 < a < 5, 3 < b < 8. Оце­ни­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Если дву­знач­ное число раз­де­лить на сумму его цифр, то в част­ном по­лу­чит­ся 7 и в остат­ке 6. Если это же дву­знач­ное число раз­де­лить на про­из­ве­де­ние его цифр, то в част­ном по­лу­чит­ся 3 и в остат­ке 11. Най­ди­те это дву­знач­ное число.

Если дву­знач­ное число раз­де­лить на сумму его цифр, то в част­ном по­лу­чит­ся 4 и в остат­ке 3. Если это же дву­знач­ное число раз­де­лить на про­из­ве­де­ние его цифр, то в част­ном по­лу­чит­ся 3 и в остат­ке 5. Най­ди­те это дву­знач­ное число.

ABCD  — тра­пе­ция с ос­но­ва­ни­я­ми BC и AD, O  — точка пе­ре­се­че­ния ее диа­го­на­лей. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки AOB и DOC рав­но­ве­ли­ки.

Тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми BC и AD, пря­мая CK па­рал­лель­на диа­го­на­ли BD, где K при­над­ле­жит AD. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ACK и тра­пе­ция ABCD рав­но­ве­ли­ки.

Точки M и N лежат на сто­ро­нах AC и BC тре­уголь­ни­ка ABC со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что AC = 16, CN = 9, BC · CM = 144. До­ка­жи­те, что MN || AB.

От­рез­ки AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Из­вест­но, что BO = 15, CO = 12, AO · DO = 180. До­ка­жи­те, что AB || CD.

Один ра­бо­чий может вы­пол­нить про­из­вод­ствен­ное за­да­ние на 3 ч быст­рее, чем дру­гой. Если пер­вый ра­бо­чий будет ра­бо­тать 4 ч, а потом его сме­нит вто­рой, то по­след­не­му нужно будет ра­бо­тать 3 ч, чтобы за­кон­чить за­да­ние. За сколь­ко часов может вы­пол­нить все за­да­ние пер­вый ра­бо­чий, если будет ра­бо­тать один?

Од­но­му ра­бо­че­му для вы­пол­не­ния про­из­вод­ствен­но­го за­да­ния не­об­хо­ди­мо на 4 ч боль­ше, чем дру­го­му. Если пер­вый ра­бо­чий будет ра­бо­тать 3 ч, а потом его сме­нит вто­рой, то по­след­не­му нужно будет ра­бо­тать 6 ч, чтобы за­кон­чить за­да­ние. За сколь­ко часов может вы­пол­нить все за­да­ние вто­рой ра­бо­чий, если будет ра­бо­тать один?

Упро­сти­те вы­ра­же­ние

Упро­сти­те вы­ра­же­ние

Сумма внут­рен­них углов пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка A₁A₂...A_n в 3 раза боль­ше суммы его внеш­них углов, взя­тых по од­но­му при каж­дой вер­ши­не. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка A₁A₂A_n, если сто­ро­на мно­го­уголь­ни­ка равна 10.

Сумма внут­рен­них углов пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка A₁A₂...A_n в 3 раза боль­ше суммы его внеш­них углов, взя­тых по од­но­му при каж­дой вер­ши­не. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка A₁A₂A_n, если сто­ро­на мно­го­уголь­ни­ка равна 12.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Ав­то­мо­биль, про­ехав 550 км по трас­се, из­рас­хо­до­вал на 31 л топ­ли­ва боль­ше, чем на 130 км про­бе­га по го­ро­ду. Из­вест­но, что на каж­дые 100 км про­бе­га по го­ро­ду ав­то­мо­би­лю тре­бу­ет­ся на 2 л топ­ли­ва боль­ше, чем на каж­дые 100 км про­бе­га по трас­се. Най­ди­те, сколь­ко лит­ров топ­ли­ва ав­то­мо­биль из­рас­хо­до­вал на трас­се.

Ав­то­мо­биль про­ехал 380 км по трас­се и 120 км по го­ро­ду, из­рас­хо­до­вав при этом 52,4 л топ­ли­ва. Из­вест­но, что на каж­дые 100 км про­бе­га по трас­се ав­то­мо­би­лю тре­бу­ет­ся на 2 л топ­ли­ва мень­ше, чем на каж­дые 100 км про­бе­га по го­ро­ду. Най­ди­те, сколь­ко лит­ров топ­ли­ва ав­то­мо­биль из­рас­хо­до­вал на трас­се.

Дан па­рал­ле­ло­грамм ABCD. Бис­сек­три­сы его углов A и D пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K, ле­жа­щей на сто­ро­не BC. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма, если AK  =  8 см, DK  =  6 см.

Дан па­рал­ле­ло­грамм ABCD. Бис­сек­три­сы его углов A и D пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M, ле­жа­щей на сто­ро­не BC. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма, если AM  =  7 см, DM  =  4 см.

Пусть x₁ и x₂  — корни урав­не­ния Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Пусть x₁ и x₂  — корни урав­не­ния Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния