Ре­ше­ние. Из­вест­но, что если сто­ро­на рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка равна a, то вы­со­та h этого тре­уголь­ни­ка равна a.

Имеем:

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка S равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния сто­ро­ны на вы­со­ту, про­ведённую к этой сто­ро­не, по­это­му

Ответ:

Ре­ше­ние. Из­вест­но, что если сто­ро­на рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка равна a, то вы­со­та h этого тре­уголь­ни­ка равна a.

Имеем:

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка S равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния сто­ро­ны на вы­со­ту, про­ведённую к этой сто­ро­не, по­это­му

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть АB  — сто­ро­на пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка.

1)  Знаем, что

По усло­вию т. е.

Из тре­уголь­ни­ка AHO видно, что катет OH (r  =  OH) в два раза мень­ше ги­по­те­ну­зы OA (R  =  OA). В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке катет, ле­жа­щий на­про­тив угла в 30°, равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, тогда сле­до­ва­тель­но,

Тре­уголь­ник AOH равен тре­уголь­ни­ку HOB (по трем сто­ро­нам), сле­до­ва­тель­но, и Тогда в мно­го­уголь­ни­ке сто­ро­ны.

2)  Так как в мно­го­уголь­ни­ке 3 сто­ро­ны, а по усло­вию мно­го­уголь­ник пра­виль­ный, то мы по­лу­чи­ли рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник. Его пло­щадь равна: сле­до­ва­тель­но, AB  =  4.

3)  Тогда пе­ри­метр пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка (AB · 3) равен

Ответ: 12

Ре­ше­ние. Пусть АB  — сто­ро­на пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка.

1)  Знаем, что

По усло­вию т. е.

Из тре­уголь­ни­ка AHO видно, что катет OH (r  =  OH) в два раза мень­ше ги­по­те­ну­зы OA (R  =  OA). В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке катет, ле­жа­щий на­про­тив угла в равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, тогда сле­до­ва­тель­но,

Тре­уголь­ник AOH равен тре­уголь­ни­ку HOB (по трем сто­ро­нам), сле­до­ва­тель­но, и Тогда в мно­го­уголь­ни­ке сто­ро­ны.

2)  Так как в мно­го­уголь­ни­ке 3 сто­ро­ны, а по усло­вию мно­го­уголь­ник пра­виль­ный, то мы по­лу­чи­ли рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник. Его пло­щадь: сле­до­ва­тель­но, AB  =  8.

3)  Тогда пе­ри­метр пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка (AB · 3) равен

Ответ: 24