Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 729
i

Сумма внут­рен­них углов пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка A1A2...An в 3 раза боль­ше суммы его внеш­них углов, взя­тых по од­но­му при каж­дой вер­ши­не. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка A1A2An, если сто­ро­на мно­го­уголь­ни­ка равна 10.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть пра­виль­ный мно­го­уголь­ник имеет n углов и сто­рон. Тогда сумма его внут­рен­них углов равна 180°(n − 2). А сумма внеш­них углов равна:

 

n умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 180 гра­ду­сов минус дробь: чис­ли­тель: 180 гра­ду­сов левая круг­лая скоб­ка n минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = 360 гра­ду­сов.

 

По усло­вию за­да­чи имеем:

 

180 гра­ду­сов левая круг­лая скоб­ка n минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =3 умно­жить на 360 гра­ду­сов рав­но­силь­но n=8.

 

Зна­чит, нам дан пра­виль­ный вось­ми­уголь­ник. Его внут­рен­ний угол равен 135°. Найдём пло­щадь S тре­уголь­ни­ка A1A2An:

S = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 10 умно­жить на 10 умно­жить на синус 135 гра­ду­сов = 25 ко­рень из 2 .

Ответ: 25 ко­рень из 2 .

Классификатор геометрии: 3.4 Пра­виль­ные мно­го­уголь­ни­ки
Источник: Ва­ри­ант № 71
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024