Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 669
i

Точки M и N лежат на сто­ро­нах AC и BC тре­уголь­ни­ка ABC со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что AC = 16, CN = 9, BC · CM = 144. До­ка­жи­те, что MN || AB.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что AC умно­жить на CN=16 умно­жить на 9=144=AC умно­жить на BC. Из этого видно, что  дробь: чис­ли­тель: AC, зна­ме­на­тель: CM конец дроби = дробь: чис­ли­тель: BC, зна­ме­на­тель: CN конец дроби . Так как \angle C общий для тре­уголь­ни­ков ABC и MNC(см.рис.), а также, так как  дробь: чис­ли­тель: AC, зна­ме­на­тель: CM конец дроби = дробь: чис­ли­тель: BC, зна­ме­на­тель: CN конец дроби , видно, что тре­уголь­ник ABC по­до­бен тре­уго­льи­ку MNC. Зна­чит, \angle CMN=\angle CAB, а так как эти углы  — со­от­вет­ствен­ные при се­ку­щей AC, то MN||AB по при­зна­ку па­рал­лель­но­сти пря­мых.

Классификатор геометрии: 1.1 Па­рал­лель­ные и пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся пря­мые
Источник: Ва­ри­ант № 65