РЕШУ ЦТ — математика–9

Варианты заданий

1.  Задание № 108 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 2.5 Уравнения высших степеней, биквадратные уравнения

Задания на 8 баллов

Решите биквадратное уравнение х⁴ + 7х² − 18 = 0.

Решение. Пусть t  =   $x в квадрате .$ Решим вспомогательное уравнение:

$t в квадрате$  +  $7t$  - 18  =  0 $равносильно$ (t + 9)(t - 2)  =  0 $равносильно$ $совокупность выражений t=2,t= минус 9. конец совокупности$

Вернёмся к исходной переменной:

$совокупность выражений x в квадрате =2,x в квадрате = минус 9 конец совокупности .$ $равносильно$ $x в квадрате =2 равносильно$ $совокупность выражений x= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,x= минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента . конец совокупности$

Ответ: { $минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ;$ $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ }.

108

{ $минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ;$ $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ }.

Классификатор алгебры: 2.5 Уравнения высших степеней, биквадратные уравнения

Источник: Вариант № 9

2.  Задание № 118 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 2.5 Уравнения высших степеней, биквадратные уравнения

Источник: Вариант № 10

Задания на 8 баллов

Решите биквадратное уравнение $x в степени 4 минус 3x в квадрате минус 28 = 0.$

Решение. Пусть t  =   $x в квадрате .$ Решим вспомогательное уравнение:

$t в квадрате минус 3t минус 28 = 0 равносильно левая круглая скобка t минус 7 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 4 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений t = 7,t = минус 4. конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной:

$совокупность выражений x в квадрате =7,x в квадрате = минус 4 конец совокупности . равносильно x в квадрате = 7 равносильно совокупность выражений x= корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента ,x= минус корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента . конец совокупности$

Ответ: $левая фигурная скобка минус корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента ; корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента правая фигурная скобка .$

118

$левая фигурная скобка минус корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента ; корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента правая фигурная скобка .$

Классификатор алгебры: 2.5 Уравнения высших степеней, биквадратные уравнения

Источник: Вариант № 10

3.  Задание № 429 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 2.5 Уравнения высших степеней, биквадратные уравнения

Источник: Вариант № 41

Задания на 9 баллов

Решите уравнение $левая круглая скобка x в квадрате минус 5x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 5x минус 4 правая круглая скобка = минус 9.$

Решение. Введем замену. Пусть $x в квадрате минус 5x плюс 2=t,$ тогда имеем:

$t левая круглая скобка t минус 6 правая круглая скобка = минус 9$ $равносильно$ $t в квадрате минус 6t плюс 9=0$ $равносильно$ $левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка в квадрате =0$ $равносильно$ $t=3.$

Вернемся к исходной переменной, получим:

$x в квадрате минус 5x плюс 2=3$ $равносильно$ $x в квадрате минус 5x минус 1=0$ $равносильно$ $совокупность выражений x= дробь: числитель: 5 плюс корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,x= дробь: числитель: 5 минус корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

Ответ: $левая фигурная скобка дробь: числитель: 5 минус корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5 плюс корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка .$

429

$левая фигурная скобка дробь: числитель: 5 минус корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5 плюс корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка .$

Классификатор алгебры: 2.5 Уравнения высших степеней, биквадратные уравнения

Источник: Вариант № 41

4.  Задание № 439 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 2.5 Уравнения высших степеней, биквадратные уравнения

Источник: Вариант № 42

Задания на 9 баллов

Решите уравнение $левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x минус 4 правая круглая скобка = минус 9.$

Решение. Введем замену. Пусть $x в квадрате плюс 3x плюс 2=t,$ тогда имеем:

Вернемся к исходной переменной, получим:

$x в квадрате плюс 3x плюс 2=3$ $равносильно$ $x в квадрате плюс 3x минус 1=0$ $равносильно$ $совокупность выражений x= дробь: числитель: минус 3 плюс корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,x= дробь: числитель: минус 3 минус корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

Ответ: $левая фигурная скобка дробь: числитель: минус 3 минус корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: минус 3 плюс корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка .$

439

$левая фигурная скобка дробь: числитель: минус 3 минус корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: минус 3 плюс корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка .$

Классификатор алгебры: 2.5 Уравнения высших степеней, биквадратные уравнения

Источник: Вариант № 42

5.  Задание № 468 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 2.5 Уравнения высших степеней, биквадратные уравнения

Источник: Вариант № 45

Задания на 8 баллов

Решите биквадратное уравнение $x в степени 4 минус 8x в квадрате минус 9=0.$

Решение. Пусть t  =  x², тогда:

$t в квадрате минус 8t минус 9=0 равносильно совокупность выражений t= минус 1,t=9. конец совокупности .$

Вернемся к исходной переменной: $совокупность выражений x в квадрате = минус 1,x в квадрате =9 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=3,x= минус 3. конец совокупности .$

Первое уравнение совокупности решений не имеет, его можно опустить.

Ответ: {−3; 3}.

468

{−3; 3}.

Классификатор алгебры: 2.5 Уравнения высших степеней, биквадратные уравнения

Источник: Вариант № 45

6.  Задание № 478 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 2.5 Уравнения высших степеней, биквадратные уравнения

Источник: Вариант № 46

Задания на 8 баллов

Решите биквадратное уравнение $x в степени 4 минус 3x в квадрате минус 4=0.$

Решение. Пусть t  =  x², тогда:

$t в квадрате минус 3t минус 4=0 равносильно совокупность выражений t= минус 1,t=4. конец совокупности .$

Вернемся к исходной переменной: $совокупность выражений x в квадрате = минус 1,x в квадрате =4 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=2,x= минус 2. конец совокупности .$

Первое уравнение совокупности решений не имеет, его можно опустить.

Ответ: {−2; 2}.

478

{−2; 2}.

Классификатор алгебры: 2.5 Уравнения высших степеней, биквадратные уравнения

Источник: Вариант № 46

7.  Задание № 510 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 2.5 Уравнения высших степеней, биквадратные уравнения

Источник: Вариант № 49

Задания на 10 баллов

Решите уравнение $левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x правая круглая скобка в квадрате минус 14x в квадрате минус 42x плюс 40=0.$

Решение. Преобразуем исходное равенство:

$левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x правая круглая скобка в квадрате минус 14x в квадрате минус 42x плюс 40=0 равносильно левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x правая круглая скобка в квадрате минус 14 левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x правая круглая скобка плюс 40=0.$

Пусть $t=x в квадрате плюс 3x,$ тогда решим вспомогательное уравнение:

$t в квадрате минус 14t плюс 40=0 равносильно левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 10 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений t=10,t=4. конец совокупности .$

Вернемся к исходным переменным:

$совокупность выражений x в квадрате плюс 3x=4,x в квадрате плюс 3x=10 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=1,x= минус 4, x=2 , x= минус 5. конец совокупности .$

Ответ: { $1; минус 4;2; минус 5$ }.

510

{ $1; минус 4;2; минус 5$ }.

Классификатор алгебры: 2.5 Уравнения высших степеней, биквадратные уравнения

Источник: Вариант № 49

8.  Задание № 520 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 2.5 Уравнения высших степеней, биквадратные уравнения

Источник: Вариант № 50

Задания на 10 баллов

Решите уравнение $левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x правая круглая скобка в квадрате минус 11x в квадрате минус 22x плюс 24=0.$

Решение. Упростим исходное выражение:

$левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x правая круглая скобка в квадрате минус 11x в квадрате минус 22x плюс 24=0 равносильно левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x правая круглая скобка в квадрате минус 11 левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x правая круглая скобка плюс 24=0.$

Пусть $t=x в квадрате плюс 2x,$ тогда решим вспомогательное уравнение $t в квадрате минус 11t плюс 24=0.$ Используя обратную теорему Виета, имеем:

$совокупность выражений t=3,t=8. конец совокупности .$

Вернемся к исходным переменным:

$совокупность выражений x в квадрате плюс 2x=3,x в квадрате плюс 2x=8 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=1,x= минус 3,x=2,x= минус 4. конец совокупности .$

Ответ: { $2, минус 3, минус 4, 1$ }.

520

{ $2, минус 3, минус 4, 1$ }.

Классификатор алгебры: 2.5 Уравнения высших степеней, биквадратные уравнения

Источник: Вариант № 50

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	108	{ $минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ;$ $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ }.
2	118	$левая фигурная скобка минус корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента ; корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента правая фигурная скобка .$
3	429	$левая фигурная скобка дробь: числитель: 5 минус корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5 плюс корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка .$
4	439	$левая фигурная скобка дробь: числитель: минус 3 минус корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: минус 3 плюс корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка .$
5	468	{−3; 3}.
6	478	{−2; 2}.
7	510	{ $1; минус 4;2; минус 5$ }.
8	520	{ $2, минус 3, минус 4, 1$ }.