Пусть хорда AB  — сто­ро­на пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка, R  — ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти, а r, со­от­вет­ствен­но,  —  впи­сан­ной, тогда H  — точка ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти со сто­ро­ной AB пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка, при­чем точка H делит её на два рав­ных от­рез­ка. Тогда, Так как то В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AOH найдём AH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: А зна­чит, AH  =  8, а AB  =  16.

Ответ: 16.

Пусть хорда AB  — сто­ро­на пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка, R  — ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти, а r, со­от­вет­ствен­но,  —  впи­сан­ной, тогда H  — точка ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти со сто­ро­ной AB пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка, при­чем точка H делит её на два рав­ных от­рез­ка. Тогда, Так как то В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AOH найдём AH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: А зна­чит, AH  =  6, а AB  =  12.

Ответ: 12.

Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная, так как во­круг неё можно опи­сать окруж­ность. Сумма углов тра­пе­ции, при­ле­жа­щих к одной бо­ко­вой сто­ро­не, равна 180°, а зна­чит, угол ADC равен 60°. За­ме­тим, что AD яв­ля­ет­ся диа­мет­ром окруж­но­сти из-за того, что на нём лежит её центр, а так же что в таком слу­чае ра­ди­у­сы BO, CO, AO и DO раз­би­ва­ют тра­пе­цию ABCD на тре­уголь­ни­ки AOB и COD, рав­ные по трём сто­ро­нам, причём эти тре­уголь­ни­ки яв­ля­ют­ся рав­но­сто­рон­ни­ми, так как COD равен углу BOA, а угол AOB равен углу ODC как со­от­вет­ствен­ные эле­мен­ты. Тогда от­рез­ки AB и CO па­рал­лель­ны и равны, а зна­чит, ABCO  — па­рал­ле­ло­грамм, в ко­то­ром AO  =  BC. Таким об­ра­зом, мы по­лу­ча­ем, что тра­пе­ция со­сто­ит из трёх рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ков со сто­ро­ной 4. Пло­щадь рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле Имеем а пло­щадь тра­пе­ции в таком слу­чае равна

Ответ:

Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная, так как во­круг неё можно опи­сать окруж­ность. Сумма углов тра­пе­ции, при­ле­жа­щих к одной бо­ко­вой сто­ро­не, равна 180°, а зна­чит, угол ADC равен 60°. За­ме­тим, что AD яв­ля­ет­ся диа­мет­ром окруж­но­сти из-за того, что на нём лежит её центр, а так же что в таком слу­чае ра­ди­у­сы BO, CO, AO и DO раз­би­ва­ют тра­пе­цию ABCD на тре­уголь­ни­ки AOB и COD, рав­ные по трём сто­ро­нам, причём эти тре­уголь­ни­ки яв­ля­ют­ся рав­но­сто­рон­ни­ми, так как COD равен углу BOA, а угол AOB равен углу ODC как со­от­вет­ствен­ные эле­мен­ты. Тогда от­рез­ки AB и CO па­рал­лель­ны и равны, а зна­чит, ABCO  — па­рал­ле­ло­грамм, в ко­то­ром AO  =  BC. Таким об­ра­зом, мы по­лу­ча­ем, что тра­пе­ция со­сто­ит из трёх рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ков со сто­ро­ной 2. Пло­щадь рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле Имеем а пло­щадь тра­пе­ции в таком слу­чае равна

Ответ:

Сумма про­ти­во­по­лож­ных углов впи­сан­но­го в окруж­ность че­ты­рех­уголь­ни­ка равна 180°. Тогда

Ответ: в).