Ре­ше­ние. Пусть хорда AB  — сто­ро­на пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка, R  — ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти, а r, со­от­вет­ствен­но,  —  впи­сан­ной, тогда H  — точка ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти со сто­ро­ной AB пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка, при­чем точка H делит её на два рав­ных от­рез­ка. Тогда, Так как то В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AOH найдём AH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: А зна­чит, AH  =  8, а AB  =  16.

Ответ: 16.

Ре­ше­ние. Пусть хорда AB  — сто­ро­на пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка, R  — ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти, а r, со­от­вет­ствен­но,  —  впи­сан­ной, тогда H  — точка ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти со сто­ро­ной AB пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка, при­чем точка H делит её на два рав­ных от­рез­ка. Тогда, Так как то В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AOH найдём AH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: А зна­чит, AH  =  6, а AB  =  12.

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная, так как во­круг неё можно опи­сать окруж­ность. Сумма углов тра­пе­ции, при­ле­жа­щих к одной бо­ко­вой сто­ро­не, равна 180°, а зна­чит, угол ADC равен 60°. За­ме­тим, что AD яв­ля­ет­ся диа­мет­ром окруж­но­сти из-за того, что на нём лежит её центр, а так же что в таком слу­чае ра­ди­у­сы BO, CO, AO и DO раз­би­ва­ют тра­пе­цию ABCD на тре­уголь­ни­ки AOB и COD, рав­ные по трём сто­ро­нам, причём эти тре­уголь­ни­ки яв­ля­ют­ся рав­но­сто­рон­ни­ми, так как COD равен углу BOA, а угол AOB равен углу ODC как со­от­вет­ствен­ные эле­мен­ты. Тогда от­рез­ки AB и CO па­рал­лель­ны и равны, а зна­чит, ABCO  — па­рал­ле­ло­грамм, в ко­то­ром AO  =  BC. Таким об­ра­зом, мы по­лу­ча­ем, что тра­пе­ция со­сто­ит из трёх рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ков со сто­ро­ной 4. Пло­щадь рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле Имеем а пло­щадь тра­пе­ции в таком слу­чае равна

Ответ:

Ре­ше­ние. Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная, так как во­круг неё можно опи­сать окруж­ность. Сумма углов тра­пе­ции, при­ле­жа­щих к одной бо­ко­вой сто­ро­не, равна 180°, а зна­чит, угол ADC равен 60°. За­ме­тим, что AD яв­ля­ет­ся диа­мет­ром окруж­но­сти из-за того, что на нём лежит её центр, а так же что в таком слу­чае ра­ди­у­сы BO, CO, AO и DO раз­би­ва­ют тра­пе­цию ABCD на тре­уголь­ни­ки AOB и COD, рав­ные по трём сто­ро­нам, причём эти тре­уголь­ни­ки яв­ля­ют­ся рав­но­сто­рон­ни­ми, так как COD равен углу BOA, а угол AOB равен углу ODC как со­от­вет­ствен­ные эле­мен­ты. Тогда от­рез­ки AB и CO па­рал­лель­ны и равны, а зна­чит, ABCO  — па­рал­ле­ло­грамм, в ко­то­ром AO  =  BC. Таким об­ра­зом, мы по­лу­ча­ем, что тра­пе­ция со­сто­ит из трёх рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ков со сто­ро­ной 2. Пло­щадь рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле Имеем а пло­щадь тра­пе­ции в таком слу­чае равна

Ответ:

Ре­ше­ние. Сумма про­ти­во­по­лож­ных углов впи­сан­но­го в окруж­ность че­ты­рех­уголь­ни­ка равна 180°. Тогда

Ответ: в).

Ре­ше­ние. По свой­ству сумма про­ти­во­по­лож­ных углов впи­сан­но­го в окруж­ность че­ты­рех­уголь­ни­ка равна 180°. Тогда

Ответ: б).

Ре­ше­ние. Пусть АB  — сто­ро­на пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка.

1)  Знаем, что

По усло­вию т. е.

Из тре­уголь­ни­ка AHO видно, что катет OH (r  =  OH) в два раза мень­ше ги­по­те­ну­зы OA (R  =  OA). В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке катет, ле­жа­щий на­про­тив угла в 30°, равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, тогда сле­до­ва­тель­но,

Тре­уголь­ник AOH равен тре­уголь­ни­ку HOB (по трем сто­ро­нам), сле­до­ва­тель­но, и Тогда в мно­го­уголь­ни­ке сто­ро­ны.

2)  Так как в мно­го­уголь­ни­ке 3 сто­ро­ны, а по усло­вию мно­го­уголь­ник пра­виль­ный, то мы по­лу­чи­ли рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник. Его пло­щадь равна: сле­до­ва­тель­но, AB  =  4.

3)  Тогда пе­ри­метр пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка (AB · 3) равен

Ответ: 12

Ре­ше­ние. Пусть АB  — сто­ро­на пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка.

1)  Знаем, что

По усло­вию т. е.

Из тре­уголь­ни­ка AHO видно, что катет OH (r  =  OH) в два раза мень­ше ги­по­те­ну­зы OA (R  =  OA). В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке катет, ле­жа­щий на­про­тив угла в равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, тогда сле­до­ва­тель­но,

Тре­уголь­ник AOH равен тре­уголь­ни­ку HOB (по трем сто­ро­нам), сле­до­ва­тель­но, и Тогда в мно­го­уголь­ни­ке сто­ро­ны.

2)  Так как в мно­го­уголь­ни­ке 3 сто­ро­ны, а по усло­вию мно­го­уголь­ник пра­виль­ный, то мы по­лу­чи­ли рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник. Его пло­щадь: сле­до­ва­тель­но, AB  =  8.

3)  Тогда пе­ри­метр пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка (AB · 3) равен

Ответ: 24

Ре­ше­ние. Так как BM  — ме­ди­а­на, то

Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке BMC:

зна­чит, угол MBC равен 60° (120°  — не­воз­мож­но по тео­ре­ме о сумме углов тре­уголь­ни­ка). Тогда

Снова вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой си­ну­сов, но в тре­уголь­ни­ке ABM:

Ответ: 6 см.

Ре­ше­ние. Так как BM  — ме­ди­а­на, то

Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке BMC:

зна­чит, угол ABM  =  60° (120°  — не­воз­мож­но по тео­ре­ме о сумме углов тре­уголь­ни­ка). Тогда угол Снова вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой си­ну­сов, но в тре­уголь­ни­ке BMC:

Ответ: 9 см.

Ре­ше­ние. Дуги BCM и BАМ равны 120°. Дуга MDN равна 360° − 240° = 120°. По тео­ре­ме о впи­сан­ном угле угол MBN равен по­ло­ви­не гра­дус­ной меры дуги MDN, то есть 60°. Рав­ные хорды стя­ги­ва­ют рав­ные дуги, дуги BC и АВ равны 90°. Дуги CM и AN равны 120° − 90° = 30°. По тео­ре­ме о впи­сан­ном угле угол ABN равен по­ло­ви­не гра­дус­ной меры дуги AN, то есть 15°, угол CBM равен по­ло­ви­не гра­дус­ной меры дуги CM, то есть так же 15°. Тре­уголь­ни­ки CBT и ABK по сто­ро­не и двум углам, сле­до­ва­тель­но, BK = BT. Так как ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти равен най­дем сто­ро­ну квад­ра­та:

Рас­смот­рим тре­уголь­ник CBT. Угол ВСТ равен 45°, угол CBT равен 15°, зна­чит, угол CТВ равен 120°. При­ме­ним тео­ре­му си­ну­сов:

Тре­уголь­ник TBK  — рав­но­сто­рон­ний, так как он яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным, а один из его углов равен 60°. По­это­му TK = BT = 6.

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Дуги BCM и BАМ равны 120°. Дуга MDN равна 360° − 240° = 120°. По тео­ре­ме о впи­сан­ном угле угол MBN равен по­ло­ви­не гра­дус­ной меры дуги MDN, то есть 60°. Рав­ные хорды стя­ги­ва­ют рав­ные дуги, по­это­му дуги BC и АВ равны 90°. Дуги CM и AN равны 120° − 90° = 30°. По тео­ре­ме о впи­сан­ном угле угол ABN равен по­ло­ви­не гра­дус­ной меры дуги AN, то есть 15°, угол CBM равен по­ло­ви­не гра­дус­ной меры дуги CM, то есть так же 15°. Тре­уголь­ни­ки CBT и ABK по сто­ро­не и двум углам, сле­до­ва­тель­но, BK = BT. Так как ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти равен най­дем сто­ро­ну квад­ра­та:

Рас­смот­рим тре­уголь­ник CBT. Угол ВСТ равен 45°, угол CBT равен 15°, зна­чит, угол CТВ равен 120°. При­ме­ним тео­ре­му си­ну­сов:

Тре­уголь­ник TBK  — рав­но­сто­рон­ний, так как он яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным, а один из его углов равен 60°. По­это­му TK = BT = 12.

Ответ: 12.

Ре­ше­ние.

Как это от­рез­ки, про­ве­ден­ные из цен­тра окруж­но­сти к точке на ней, то есть ра­ди­у­сы,

так как оба этих угла опи­ра­ют­ся на одну дугу,   — цен­траль­ный и   — впи­сан­ный. Зна­чит:

Ответ:

Ре­ше­ние. Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка по фор­му­ле Ге­ро­на:

Чтобы найти ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABС, ис­поль­зу­ем фор­му­лу пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка

Ответ: 6,25 см.

Ре­ше­ние. Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка по фор­му­ле Ге­ро­на:

Чтобы найти ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABС, ис­поль­зу­ем фор­му­лу пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка

Ответ:

Ре­ше­ние. Ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, по­это­му ги­по­те­ну­за дан­но­го равна двум ра­ди­у­сам, то есть 10 см. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём не­из­вест­ный катет b этого тре­уголь­ни­ка:

Те­перь по фор­му­ле найдём ра­ди­ус r впи­сан­ной в этот тре­уголь­ник окруж­но­сти:

Ответ: 2 см.

Ре­ше­ние. Ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, по­это­му ги­по­те­ну­за дан­но­го равна двум ра­ди­у­сам, то есть 10 см. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём не­из­вест­ный катет b этого тре­уголь­ни­ка:

Те­перь по фор­му­ле найдём ра­ди­ус r впи­сан­ной в этот тре­уголь­ник окруж­но­сти:

Ответ: 2 см.