Ре­ше­ние. а)  Внут­рен­ни­ми на­крест ле­жа­щи­ми на­зы­ва­ют­ся углы, ко­то­рые лежат во внут­рен­ней об­ла­сти по раз­ные сто­ро­ны от се­ку­щей (на­крест друг от друга).

б)  Внеш­ни­ми од­но­сто­рон­ни­ми на­зы­ва­ют­ся углы, ко­то­рые лежат во внеш­ней об­ла­сти по одну сто­ро­ну от се­ку­щей.

в)  Со­от­вет­ствен­ны­ми на­зы­ва­ют­ся углы, ко­то­рые лежат по одну сто­ро­ну от се­ку­щей, но один из углов лежит во внеш­ней об­ла­сти, а дру­гой  — во внут­рен­ней.

г)  Смеж­ны­ми на­зы­ва­ют­ся углы, у ко­то­рых одна сто­ро­на общая, а две дру­гие яв­ля­ют­ся до­пол­ни­тель­ны­ми, и об­ра­зу­ют раз­вер­ну­тый угол.

Углы 1 и 2 яв­ля­ют­ся внут­рен­ни­ми на­крест ле­жа­щи­ми.

Ответ: а).

Ре­ше­ние. а)  Внеш­ни­ми на­крест ле­жа­щи­ми на­зы­ва­ют­ся углы, ко­то­рые лежат во внеш­ней об­ла­сти по раз­ные сто­ро­ны от се­ку­щей (на­крест друг от друга).

б)  Внут­рен­ни­ми од­но­сто­рон­ни­ми на­зы­ва­ют­ся углы, ко­то­рые лежат во внут­рен­ней об­ла­сти по одну сто­ро­ну от се­ку­щей.

в)  Со­от­вет­ствен­ны­ми на­зы­ва­ют­ся углы, ко­то­рые лежат по одну сто­ро­ну от се­ку­щей, но один из углов лежит во внеш­ней об­ла­сти, а дру­гой  — во внут­рен­ней.

г)  Вер­ти­каль­ны­ми на­зы­ва­ют­ся углы, у ко­то­рых вер­ши­на общая и сто­ро­ны ко­то­рых про­дол­жа­ют друг друга.

Углы 1 и 2 яв­ля­ют­ся внут­рен­ни­ми од­но­сто­рон­ни­ми.

Ответ: б).

Ре­ше­ние. По свой­ству од­но­сто­рон­них углов, угол 1 + угол 2 = 180°. Пусть угол 2 равен x, тогда угол 1 равен 5x. Имеем:

Зна­чит, угол 1 равен 150° и равен углу 3, так как они вер­ти­каль­ные. Таким об­ра­зом, ответ 150°.

Ответ: 150°.

Ре­ше­ние. По свой­ству од­но­сто­рон­них углов, угол 1 + угол 2 = 180°. Пусть угол 2 равен 2x, тогда угол 1 равен 7x. Имеем:

Зна­чит, угол 1 равен 140° и равен углу 3, так как они вер­ти­каль­ные. Таким об­ра­зом, ответ 140°.

Ответ: 140°.

Ре­ше­ние. В тре­уголь­ни­ках ABC и DEF углы ACB и DFE равны, по­сколь­ку яв­ля­ют­ся смеж­ны­ми с рав­ны­ми уг­ла­ми 1 и 2. Так как сто­ро­на AD равна CF, то AD + DC = DC + CF и AC = DF. Тре­уголь­ни­ки ABC и DEF равны по двум сто­ро­нам и углу между ними (AC = DF, BC = EF, углы ACB и DFE равны).

Тогда углы BAC и FDE равны как со­от­вет­ствен­ные эле­мен­ты рав­ных тре­уголь­ни­ков. Они между собой собой яв­ля­ют­ся со­от­вет­ствен­ны­ми уг­ла­ми при пе­ре­се­че­нии пря­мых AB и DE се­ку­щей AF. По­это­му AB || DE.

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Ре­ше­ние. В тре­уголь­ни­ках ABC и DEF углы ABC и FDE равны, по­сколь­ку яв­ля­ют­ся смеж­ны­ми с рав­ны­ми уг­ла­ми 2 и 1. Так как от­ре­зок AD равен BF, то AD + DB = DB + BF и AB = DF. Тре­уголь­ни­ки ABC и DEF равны по двум сто­ро­нам и углу между ними (AB = DF, BC = ED, углы ABC и FDE равны).

Тогда углы BAC и DFE равны как со­от­вет­ствен­ные эле­мен­ты рав­ных тре­уголь­ни­ков. Они между собой собой яв­ля­ют­ся на­крест ле­жа­щи­ми уг­ла­ми при пе­ре­се­че­нии пря­мых AC и FE се­ку­щей AF. По­это­му AC || FE.

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Ре­ше­ние. Пусть один угол равен x, тогда дру­гой угол равен x + 20°. Так как сумма смеж­ных углов 180°, то

Зна­чит, один угол равен 80°, а дру­гой  — 100°.

Ответ: 80°; 100°.

Ре­ше­ние. Пусть один угол равен x, тогда дру­гой угол равен x + 40°. Так как сумма смеж­ных углов 180°, то

Зна­чит, один угол равен 70°, а дру­гой  — 110°.

Ответ: 70°; 110°.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что Из этого видно, что Так как общий для тре­уголь­ни­ков ABC и MNC(см.рис.), а также, так как видно, что тре­уголь­ник ABC по­до­бен тре­уго­льи­ку MNC. Зна­чит, а так как эти углы  — со­от­вет­ствен­ные при се­ку­щей AC, то по при­зна­ку па­рал­лель­но­сти пря­мых.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что Из этого видно, что Так как углы и вер­ти­каль­ные (см. рис.), а также, так как видно, что тре­уголь­ник AOB по­до­бен тре­уголь­ни­ку DOC. Зна­чит, а так как эти углы  — на­крест ле­жа­щие при се­ку­щей AC, то по при­зна­ку па­рал­лель­но­сти пря­мых.

Ре­ше­ние. Углы 1 и 2 яв­ля­ют­ся на­крест ле­жа­щи­ми при пе­ре­се­че­нии пря­мых a и b се­ку­щей c. По­сколь­ку a па­рал­лель­но b, углы 1 и 2 равны, и угол 2 имеет ве­ли­чи­ну 132°.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под бук­вой в).

Ре­ше­ние. Углы 1 и 2 яв­ля­ют­ся со­от­вет­ствен­ны­ми при пе­ре­се­че­нии пря­мых a и b се­ку­щей c. По­сколь­ку a па­рал­лель­но b, углы 1 и 2 равны, и угол 2 имеет ве­ли­чи­ну 142°.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под бук­вой б).