Ре­ше­ние. Так как квад­ра­тич­ной на­зы­ва­ет­ся функ­ция вида y  =  ax² + bx + c, пра­виль­ный ответ на­хо­дит­ся под бук­вой б. В нашем слу­чае a  =  1, b  =  −5, c  =  6.

Ответ: б).

Ре­ше­ние. В любом па­рал­ле­ло­грам­ме сумма углов, при­ле­жа­щих к одной сто­ро­не, равна 180°, сле­до­ва­тель­но, угол D равен 180° − 50°  =  130°.

Ответ: в).

Ре­ше­ние. Тож­де­ствен­но пре­об­ра­зу­ем, пе­ре­не­ся в пра­вую часть урав­не­ния все члены, со­дер­жа­щии пе­ре­мен­ную, а вле­вую  — все числа. По­лу­ча­ем:

Ответ: −3.

Ре­ше­ние. Ис­поль­зуя по­лу­ча­ем:

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Решим со­от­вет­ству­ю­щее квад­рат­ное урав­не­ние, чтобы найти зна­че­ния пе­ре­мен­ной, при ко­то­рых не­ра­вен­ство об­ра­ща­ет­ся в вер­ное ра­вен­ство. За­ме­тим, что сумма ко­эф­фи­ци­ен­тов равна 0, а зна­чит, один из кор­ней равен 1. По тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Виета, вто­рой ко­рень равен от­но­ше­нию c к a, то есть,

Урав­не­ние задаёт на плос­ко­сти па­ра­бо­лу, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх, так как ко­эф­фи­ци­ент при стар­шем члене по­ло­жи­тель­ный. Не­ра­вен­ство же задаёт на плос­ко­сти об­ласть, отсечённую вет­вя­ми па­ра­бо­лы, так как знак  — мень­ше или равно. Иными сло­ва­ми, от­ве­том яв­ля­ет­ся от­ре­зок

Ответ:

Ре­ше­ние. При­ме­ним фор­му­лу Ге­ро­на где p  — по­лу­пе­ри­метр, а a, b, c  — сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка. В нашем слу­чае по­лу­пе­ри­метр равен 16, тогда

Ответ: 48.

Ре­ше­ние. При­ведём к об­ще­му зна­ме­на­те­лю, до­мно­жив вто­рую дробь на a + 4, а тре­тью  — на a, после чего пре­об­ра­зу­ем, ис­поль­зуя фор­му­лы со­кращённого умно­же­ния:

Ответ:

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что си­сте­ма связи ла­ге­рей пред­став­ля­ет из себя граф, в ко­то­ром каж­дый из x ла­ге­рей свя­зан с осталь­ны­ми x − 1 ли­ни­ей связи. При таком ме­то­де ре­ше­ния каж­дая связь учи­ты­ва­ет­ся 2 раза, по­это­му при со­став­ле­нии ра­вен­ства часть, со­дер­жа­щую пе­ре­мен­ные, сле­ду­ет раз­де­лить на 2. По­лу­ча­ем:

Ко­рень −8 не под­хо­дит по смыс­лу за­да­чи, в от­ли­чие от числа 9.

При­ме­ча­ние: корни квад­рат­но­го урав­не­ния можно было найти, ис­поль­зуя тео­ре­му, об­рат­ную тео­ре­ме Виета.

Ответ: 9.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что 9  =  3², 81  =  3⁴, а 27  =  3³. Тогда, так как при воз­ве­де­нии числа в сте­пе­ни a в сте­пень b, сте­пе­ни пе­ре­мно­жа­ют­ся, ис­ход­ную сумму можно пред­ста­вить в виде:

Ответ:

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.), где x  — ра­ди­ус мень­шей окруж­но­сти. Фор­му­ла длины окруж­но­сти тогда ра­ди­ус мень­шей окруж­но­сти равен 2. За­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки AO₁M и AO₂K по­доб­ны по двум рав­ным углам, один из ко­то­рых пря­мой, а вто­рой  — общий. Тогда из по­до­бия тре­уголь­ни­ков по­лу­ча­ем ра­вен­ство от­но­ше­ний их сто­рон :

По­след­ним шагом на­ше­го ре­ше­ния найдём длину окруж­но­сти по фор­му­ле, при­ведённой выше

Ответ: