Ис­ход­ная тра­пе­ция изоб­ра­же­на на ри­сун­ке (см. рис).

Пусть мень­шее ос­но­ва­ние BC равно x, тогда боль­шее ос­но­ва­ние AD равно 2x. По­сколь­ку в тра­пе­цию впи­са­на окруж­ность, верно сле­ду­ю­щее ра­вен­ство:

от­ку­да AB + CD = 3x.

При этом вы­со­ты тра­пе­ции AB и CH равны двум ра­ди­у­сам впи­сан­ной в неё окруж­но­сти, то есть 8. Зна­чит, CD = 3x − 8. Также HD  =  2x − x = x.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке CHD:

По­лу­ча­ем, что BC = 6, AD = 12.

Найдём пло­щадь S тра­пе­ции ABCD:

Ответ: 72.

Ис­ход­ная тра­пе­ция изоб­ра­же­на на ри­сун­ке (см. рис).

Пусть мень­шее ос­но­ва­ние BC равно x, тогда боль­шее ос­но­ва­ние AD равно 2x. По­сколь­ку в тра­пе­цию впи­са­на окруж­ность, верно сле­ду­ю­щее ра­вен­ство:

от­ку­да AB + CD = 3x.

При этом вы­со­ты тра­пе­ции AB и CH равны двум ра­ди­у­сам впи­сан­ной в неё окруж­но­сти, то есть 16. Зна­чит, CD = 3x − 16. Также HD  =  2x − x = x.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке CHD:

По­лу­ча­ем, что BC = 12, AD = 24.

Найдём пло­щадь S тра­пе­ции ABCD:

Ответ: 288.

Сред­няя линия равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний, то есть MN  =  (AD + BC) : 2, в нашем слу­чае:

Ответ: 18.

Сред­няя линия равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний, то есть MN  =  (AD + BC) : 2, в нашем слу­чае:

Ответ: 6.

Про­ве­дем NK  — вы­со­ту тра­пе­ции, и MO  — пер­пен­ди­ку­ляр к бо­ко­вой сто­ро­не, O  — центр окруж­но­сти.

Имеем

Так как тра­пе­ция опи­са­на, рав­но­бед­рен­ная, то

Имеем

В тре­уголь­ни­ке COD так как и CO  — бис­сек­три­са(центр впи­сан­ной окруж­но­сти лежит на бис­сек­три­се угла).

От­ку­да тре­уголь­ник COD  — пря­мо­уголь­ный,   — вы­со­та, про­ве­ден­ная к бис­сек­три­се, рав­ная квад­рат­но­му корню из про­из­ве­де­ния про­ек­ций ка­те­тов на ги­по­те­ну­зу, то есть:

тогда по­лу­ча­ем:

Ответ:

Про­ве­дем NK  — вы­со­ту тра­пе­ции, и MO  — пер­пен­ди­ку­ляр к бо­ко­вой сто­ро­не, O  — центр окруж­но­сти.

Имеем

Так как тра­пе­ция опи­са­на, рав­но­бед­рен­ная, то:

Имеем:

В тре­уголь­ни­ке COD так как и CO  — бис­сек­три­са(центр впи­сан­ной окруж­но­сти лежит на бис­сек­три­се угла).

От­ку­да, тре­уголь­ник COD  — пря­мо­уголь­ный,   — вы­со­та, про­ве­ден­ная к бис­сек­три­се, рав­ная квад­рат­но­му корню из про­из­ве­де­ния про­ек­ций ка­те­тов на ги­по­те­ну­зу, то есть

тогда по­лу­ча­ем:

Ответ:

Про­ве­дем вы­со­ту СМ и диа­метр FH, про­хо­дя­щую через центр впи­сан­ной окруж­но­сти. CM=FH, как па­рал­лель­ные от­рез­ки, за­клю­чен­ные между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми.

Так как окруж­ность впи­са­на в тра­пе­цию, то сто­ро­ны тра­пе­ции  — это ка­са­тель­ные к окруж­но­сти. Тогда по свой­ству ка­са­тель­ных KD  =  HD = 8 см. Ана­ло­гич­но, CF  =  CK  =  2 см.

FCMH  — пря­мо­уголь­ник по опре­де­ле­нию, так как FC па­рал­лель­на HM, так как они лежат в ос­но­ва­ни­ях тра­пе­ции; FH и CM од­но­вре­мен­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны к AD как па­рал­лель­ные вы­со­ты тра­пе­ции.

Тогда MD  =  HD − HM  =  10−2  =  8 см.

Тре­уголь­ник CDM  — пря­мо­уголь­ный, при­ме­ним для него тео­ре­му Пи­фа­го­ра:

Так как FH  — диа­метр, то AH  =  r  =  FH : 2  =  4 см.

Най­дем пло­щадь тра­пе­ции по фор­му­ле :

Ответ:

Про­ве­дем вы­со­ту СМ и диа­метр FH, про­хо­дя­щую через центр впи­сан­ной окруж­но­сти. CM  =  FH, как па­рал­лель­ные от­рез­ки, за­клю­чен­ные между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми.

Так как окруж­ность впи­са­на в тра­пе­цию, то сто­ро­ны тра­пе­ции  — это ка­са­тель­ные к окруж­но­сти. Тогда по свой­ству ка­са­тель­ных KD  =  HD  =  9 см. Ана­ло­гич­но, CF  =  CK  =  4 см.

FCMH  — пря­мо­уголь­ник по опре­де­ле­нию, так как FC па­рал­лель­на HM, так как они лежат в ос­но­ва­ни­ях тра­пе­ции; FH и CM од­но­вре­мен­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны к AD как па­рал­лель­ные вы­со­ты тра­пе­ции.

Тогда MD  =  HD − HM  =  9 − 4  =  5 см.

Тре­уголь­ник CDM  — пря­мо­уголь­ный, при­ме­ним для него тео­ре­му Пи­фа­го­ра:

Так как FH  — диа­метр, то AH  =  r  =  FH : 2  = 6 см.

Най­дем пло­щадь тра­пе­ции по фор­му­ле :

Ответ: