Ре­ше­ние. Не­ра­вен­ство 0 · x < 4 яв­ля­ет­ся вер­ным при всех зна­че­ни­ях x, по­сколь­ку об­ра­ща­ет­ся в вер­ное чис­ло­вое не­ра­вен­ство 0 < 4.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под бук­вой в).

Ре­ше­ние. Зна­ме­на­тель гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии равен част­но­му вто­ро­го и пер­во­го её чле­нов:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под бук­вой б).

Ре­ше­ние. Решим си­сте­му урав­не­ний:

Ответ: {(4; 1)}.

Ре­ше­ние. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой на­хож­де­ния абс­цис­сы вер­ши­ны па­ра­бо­лы, где a  — стар­ший ко­эф­фи­ци­ент урав­не­ния па­ра­бо­лы, b  — ко­эф­фи­ци­ент при x:

Под­ста­вим по­лу­чен­ное зна­че­ние в урав­не­ние функ­ции, по­лу­чим ор­ди­на­ту вер­ши­ны:

Ответ: (2; −7).

Ре­ше­ние. Упро­стим вы­ра­же­ние:

Ответ: −3.

Ре­ше­ние. Пусть сто­ро­ны и углы рас­по­ло­же­ны так, как на ри­сун­ке (см. рис). Найдём ко­си­нус угла A из ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства:

Те­перь найдём пло­щадь S тре­уголь­ни­ка ABC:

Ответ: 32 см².

Ре­ше­ние. До­мно­жим обе части урав­не­ния на (x − 2)², не забыв про усло­вие на зна­ме­на­тель:

Ответ: {−3; 4}.

Ре­ше­ние. В тре­уголь­ни­ках ABC и DEF углы ACB и DFE равны, по­сколь­ку яв­ля­ют­ся смеж­ны­ми с рав­ны­ми уг­ла­ми 1 и 2. Так как сто­ро­на AD равна CF, то AD + DC = DC + CF и AC = DF. Тре­уголь­ни­ки ABC и DEF равны по двум сто­ро­нам и углу между ними (AC = DF, BC = EF, углы ACB и DFE равны).

Тогда углы BAC и FDE равны как со­от­вет­ствен­ные эле­мен­ты рав­ных тре­уголь­ни­ков. Они между собой собой яв­ля­ют­ся со­от­вет­ствен­ны­ми уг­ла­ми при пе­ре­се­че­нии пря­мых AB и DE се­ку­щей AF. По­это­му AB || DE.

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Ре­ше­ние. Пусть ши­ри­на участ­ка равна x м. Тогда длина этого участ­ка равна x + 10 м., а его пло­щадь  — x (x + 10) м². Ис­хо­дя из усло­вий, со­ста­вим и решим си­сте­му не­ра­венств:

С по­мо­щью ме­то­да ин­тер­ва­лов по­лу­ча­ем,

что ре­ше­ние си­сте­мы:

От­ри­ца­тель­ные зна­че­ния не под­хо­дят нам по смыс­лу за­да­чи. Зна­чит, ши­ри­на участ­ка лежит в от­рез­ке а длина лежит в от­рез­ке

Ответ: ши­ри­на: от 3 до 8 м.; длина: от 13 до 18 м.

Ре­ше­ние. Ис­ход­ная тра­пе­ция изоб­ра­же­на на ри­сун­ке (см. рис).

Пусть мень­шее ос­но­ва­ние BC равно x, тогда боль­шее ос­но­ва­ние AD равно 2x. По­сколь­ку в тра­пе­цию впи­са­на окруж­ность, верно сле­ду­ю­щее ра­вен­ство:

от­ку­да AB + CD = 3x.

При этом вы­со­ты тра­пе­ции AB и CH равны двум ра­ди­у­сам впи­сан­ной в неё окруж­но­сти, то есть 8. Зна­чит, CD = 3x − 8. Также HD  =  2x − x = x.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке CHD:

По­лу­ча­ем, что BC = 6, AD = 12.

Найдём пло­щадь S тра­пе­ции ABCD:

Ответ: 72.