Пусть хорда AB  — сто­ро­на пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка, R  — ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти, а r, со­от­вет­ствен­но,  —  впи­сан­ной, тогда H  — точка ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти со сто­ро­ной AB пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка, при­чем точка H делит её на два рав­ных от­рез­ка. Тогда, Так как то В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AOH найдём AH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: А зна­чит, AH  =  8, а AB  =  16.

Ответ: 16.

Пусть хорда AB  — сто­ро­на пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка, R  — ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти, а r, со­от­вет­ствен­но,  —  впи­сан­ной, тогда H  — точка ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти со сто­ро­ной AB пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка, при­чем точка H делит её на два рав­ных от­рез­ка. Тогда, Так как то В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AOH найдём AH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: А зна­чит, AH  =  6, а AB  =  12.

Ответ: 12.

При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ACD:

По свой­ствам опи­сан­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка, BC+AD = AB+CD. AD = 16, CD = 30, по­это­му BC = AB+14.

В тре­уголь­ни­ке ABC по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Так как АС = 26, решим урав­не­ние:

BC = AB + 14 = 24 см.

Ответ: 10 см, 24 см.

При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ACD:

По свой­ствам опи­сан­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка, BC+AD = AB+CD. AD = 8, CD = 7, по­это­му BC = AB+7.

В тре­уголь­ни­ке ABC по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Так как АС = 26, решим урав­не­ние:

BC = AB + 7 = 12 см.

Ответ: 5 см, 12 см.

Пусть ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник A₁A₂A₃ равен R. Так как тре­уголь­ник A₁A₂A₃ пра­виль­ный, то A₂H  — вы­со­та, равна утро­ен­но­му ра­ди­у­су:

Рис. 1

Рис. 2

Так как B₁B₂B₃B₄B₅B₆ пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник, то тре­уголь­ник OB₆B₅  — рав­но­сто­рон­ний по свой­ству. Ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен вы­со­те тре­уголь­ни­ка OB₆B₅:

Ответ: 18 см.