Пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка можно пред­ста­вить в виде суммы длин всех его сто­рон:

Длины диа­го­на­лей пря­мо­уголь­ни­ка равны и де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния по­по­лам, зна­чит:

Длины про­ти­во­по­лож­ных сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка равны, зна­чит:

Итак:

Ответ: 24 см.

Пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка  — это сумма длин всех его сто­рон:

Длины диа­го­на­лей пря­мо­уголь­ни­ка равны и де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния по­по­лам, зна­чит:

Длины про­ти­во­по­лож­ных сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка равны, зна­чит:

Итак, имеем:

Ответ:

За­ме­тим, что углы DAN и CMN равны как со­от­вет­ствен­ные, углы CMN и AMB равны как вер­ти­каль­ные, а углы MNC и NAB  — как на­крест ле­жа­щие углы, тогда тре­уголь­ни­ки AND, MNC и MAB по­доб­ны по трём углам. Пло­ща­ди по­доб­ных тре­уголь­ни­ков от­но­сят­ся как квад­ра­ты от­но­ше­ния их сто­рон, тогда пло­щадь тре­уголь­ни­ка AND равна а пло­щадь тре­уголь­ни­ка MAB равна В таком слу­чае пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна

Ответ: 240.

За­ме­тим, что углы DAN и CMN равны как со­от­вет­ствен­ные, углы CMN и AMB равны как вер­ти­каль­ные, а углы MNC и NAB  — как на­крест ле­жа­щие углы, тогда тре­уголь­ни­ки AND, MNC и MAB по­доб­ны по трём углам. Пло­ща­ди по­доб­ных тре­уголь­ни­ков от­но­сят­ся как квад­ра­ты от­но­ше­ния их сто­рон, тогда пло­щадь тре­уголь­ни­ка AND равна а пло­щадь тре­уголь­ни­ка MAB равна В таком слу­чае пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна

Ответ: 720.

Так как то AD  =  17 − AB.

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма, чтобы найти его сто­ро­ны:

По смыс­лу за­да­чи по­лу­чим, что AB  =  5, AD  =  12. Най­дем ко­си­нус угла ABC: Ис­поль­зуя фор­му­лы при­ве­де­ния, по­лу­чим:

С по­мо­щью ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства най­дем

При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC:

Ответ:

Так как то AD=17-AB.

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма, чтобы найти его сто­ро­ны:

По смыс­лу за­да­чи по­лу­чим, что AB=12, AD=5.

Най­дем ко­си­нус угла ABC:

Ис­поль­зуя фор­му­лы при­ве­де­ния, по­лу­чим:

С по­мо­щью ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства най­дем :

При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC:

Ответ:

1)  На­не­сем дан­ные на чер­теж.

В тре­уголь­ни­ке BHD по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем HD:

2)  Зная пе­ри­метр, най­дем сто­ро­ны ромба:

AH=AD − HD, тогда AH = 25 − 3x.

В тре­уголь­ни­ке ABH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

тогда имеем:

Тогда BH = 4 · 6 = 24.

3)  Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой пло­ща­ди ромба:

Ответ: 600

1)  На­не­сем дан­ные на чер­теж.

В тре­уголь­ни­ке AHC по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем HC:

2)  Зная пе­ри­метр, най­дем сто­ро­ны ромба:

HD = HC − CD, тогда HD = 4x − 50.

В тре­уголь­ни­ке ADH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра тогда имеем:

Тогда AH=3 · 16=48.

3)  Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой пло­ща­ди ромба:

Ответ: 2400

Так как ABCD  — па­рал­ле­ло­грамм, то его сто­ро­ны по­пар­но равны, а имен­но: Зная CD, най­дем BC:

Тогда

Ответ:

Так как ABCD  — па­рал­ле­ло­грамм, то его сто­ро­ны по­пар­но равны, а имен­но: AB  =  CD, BC  =  AD. Зная AB, най­дем BC:

Тогда

Ответ:

Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка на­хо­дит­ся по фор­му­ле Так как нам из­вест­на пло­щадь и одна из сто­рон, най­дем дру­гую: Под­ста­вим и по­лу­чим, что вто­рая сто­ро­на равна 6, тогда пе­ри­метр равен: 2 · (6 + 7)  =  26.

Ответ: 26.

Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка на­хо­дит­ся по фор­му­ле Так как нам из­вест­на пло­щадь и одна из сто­рон, най­дем дру­гую: Под­ста­вим и по­лу­чим, что вто­рая сто­ро­на равна 4, тогда пе­ри­метр равен: 2 · (9 + 4)  =  26.

Ответ: 26.

Пусть x  — одна часть, x>0. Тогда

как од­но­сто­рон­ние при BC||AD, AB  — се­ку­щая в па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD.

Тогда имеем:

Вы­чис­лим гра­дус­ные меры обоих углов:

Ответ:

Пусть x  — одна часть, x>0. Тогда

как од­но­сто­рон­ние при BC||AD, AB  — се­ку­щая в па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD.

Тогда имеем:

Вы­чис­лим гра­дус­ные меры обоих углов:

Ответ:

1)  Имеем: (свой­ство ромба). Тогда Так как дан ромб, BC = DC = 6, сле­до­ва­тель­но, Тогда

Зна­чит, тре­уголь­ник BCD рав­но­сто­рон­ний.

Тре­уголь­ник BOC = тре­уголь­ни­ку COD (BC = CD, CO общая, BO = OD). Тогда

2)  Имеем:

3)  По усло­вию CE : BE = 1 : 2, зна­чит, CE : BC = 1 : 3, тогда Имеем:

Ответ:

1)  Имеем: (свой­ство ромба). Тогда Так как дан ромб, BC = DC = 8, сле­до­ва­тель­но,

Зна­чит, тре­уголь­ник BCD рав­но­сто­рон­ний.

Тре­уголь­ник BOC равен тре­уголь­ни­ку COD (BC = CD, CO общая, BO = OD). Тогда

2)  Имеем:

3)  По усло­вию CE : BE = 1 : 3, зна­чит, CE : BC = 1 : 4, тогда Имеем:

Ответ:

Так как пло­щадь  — это про­из­ве­де­ние длины и ши­ри­ны, а длина на 30 м боль­ше ши­ри­ны, пра­виль­ный ответ будет под бук­вой а).

Ответ: а).

За­ме­тим, что так как они од­но­сто­рон­ние, тогда угол

Зна­чит, по тео­ре­ме о сумме углов тре­уголь­ни­ка угол Тогда

Но а Зна­чит,

Ответ: 48 см².

При­ме­ча­ние.

Во вто­рой части ре­ше­ния можно было пойти иным путём. Он пред­став­лен во ва­ри­ан­те 78.

Так как пло­щадь  — это про­из­ве­де­ние длины и ши­ри­ны, а длина на 20 м боль­ше ши­ри­ны, пра­виль­ный ответ будет под бук­вой б).

Ответ: б).

За­ме­тим, что так как они од­но­сто­рон­ние, тогда угол

Зна­чит, по тео­ре­ме о сумме углов тре­уголь­ни­ка угол Тогда

Но а Зна­чит,

Ответ: 28 см².

При­ме­ча­ние.

Во вто­рой части ре­ше­ния можно было пойти иным путём. Знаем, что так как у тре­уголь­ни­ков общее ос­но­ва­ние и рав­ные вы­со­ты. А диа­го­наль BD делит ABCD на два рав­ных тре­уголь­ни­ка, зна­чит,