Пусть впи­сан­ный угол ABC равен x, тогда его со­от­вет­ству­ю­щий цен­траль­ный угол AOC равен 2x, по­сколь­ку углы опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу окруж­но­сти.

По усло­вию за­да­чи цен­траль­ный угол на 18° боль­ше впи­сан­но­го. Со­ста­вим и решим урав­не­ние:

Итак, впи­сан­ный угол ABC равен 18°.

Ответ: 18°.

Пусть впи­сан­ный угол ABC равен x, тогда его со­от­вет­ству­ю­щий цен­траль­ный угол AOC равен 2x, по­сколь­ку углы опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу окруж­но­сти.

По усло­вию за­да­чи цен­траль­ный угол на 24° боль­ше впи­сан­но­го. Со­ста­вим и решим урав­не­ние:

Итак, впи­сан­ный угол ABC равен 24°.

Ответ: 24°.

1)  Про­ве­дем вы­со­ту CH. Так как D  =  2R, то

Так как тра­пе­ция пря­мо­уголь­ная, то По тео­ре­ме о впи­сан­ной окруж­но­сти по­лу­ча­ем, что Тогда

2)  На­хо­дим и тогда

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ка CHD по­лу­ча­ем, что Под­ста­вим из­вест­ные зна­че­ния, по­лу­чим:

3)  Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой пло­ща­ди тра­пе­ции:

Ответ: 288.

1.  Про­ве­дем вы­со­ту CH. Диа­метр Так как тра­пе­ция пря­мо­уголь­ная, то По тео­ре­ме о впи­сан­ной окруж­но­сти по­лу­ча­ем, что Тогда то есть

2.  За­ме­тим, что BC  =  AH. Тогда:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ка CHD по­лу­ча­ем, что Под­ста­вим из­вест­ные зна­че­ния, по­лу­чим:

Так как BC = AH, то по­лу­ча­ем

Тогда и BC  =  8.

3.  Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой пло­ща­ди тра­пе­ции:

Ответ: 192 см².

Сто­ро­на a пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка равна его пе­ри­мет­ра, то есть см. Ра­ди­ус r впи­сан­ной в этот ше­сти­уголь­ник окруж­но­сти равен то есть 3 см. Длину C впи­сан­ной окруж­но­сти найдём по фор­му­ле:

Ответ:

Сто­ро­на a пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка равна его пе­ри­мет­ра, то есть см. Ра­ди­ус r впи­сан­ной в этот ше­сти­уголь­ник окруж­но­сти равен то есть 9 см. Длину C впи­сан­ной окруж­но­сти найдём по фор­му­ле:

Ответ:

По тео­ре­ме о сумме углов вы­пук­ло­го n-уголь­ни­ка s = 180° · (n − 2).

Под­ста­вим n: 180° · (8 − 2) = 180° ·  6 = 1080°.

Ответ: 1080°.

По тео­ре­ме о сумме углов вы­пук­ло­го n-уголь­ни­ка s = 180° · (n − 2).

Под­ста­вим n: 180° · (7 − 2) = 180° ·  5 = 900°.

Ответ: 900°.

Пра­виль­ный мно­го­уголь­ник имеет рав­ное ко­ли­че­ство сто­рон и углов, рав­ное где n  — ко­ли­че­ство углов. Также, сумма всех углов его равна так как это пра­виль­ный мно­го­уголь­ник. Решим по­лу­чив­ше­е­ся урав­не­ние:

Таким об­ра­зом, пра­виль­ный мно­го­уголь­ник, каж­дый угол ко­то­ро­го равен 144°, имеет 10 сто­рон.

Ответ: 10 сто­рон.

Пра­виль­ный мно­го­уголь­ник имеет рав­ное ко­ли­че­ство сто­рон и углов, рав­ное где n  — ко­ли­че­ство углов. Также, сумма всех углов его равна так как это пра­виль­ный мно­го­уголь­ник. Решим по­лу­чив­ше­е­ся урав­не­ние:

Таким об­ра­зом, пра­виль­ный мно­го­уголь­ник, каж­дый угол ко­то­ро­го равен 156°, имеет 15 сто­рон.

Ответ: 15 сто­рон.

Пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ние:

Най­дем ко­ор­ди­на­ты вер­ши­ны па­ра­бо­лы:

Ветви па­ра­бо­лы на­прав­ле­ны вниз, по­это­му мно­же­ство зна­че­ний лежит в про­ме­жут­ке

Функ­ция воз­рас­та­ет на про­ме­жут­ке и убы­ва­ет на про­ме­жут­ке

Пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ние:

Най­дем ко­ор­ди­на­ты вер­ши­ны па­ра­бо­лы:

Ветви па­ра­бо­лы на­прав­ле­ны вниз, по­это­му мно­же­ство зна­че­ний лежит в про­ме­жут­ке

Функ­ция воз­рас­та­ет на про­ме­жут­ке и убы­ва­ет на про­ме­жут­ке

Как от­рез­ки, про­ве­ден­ные из цен­тра окруж­но­сти к точке на ней, то есть ра­ди­у­сы,

так как оба этих угла опи­ра­ют­ся на одну дугу,   — цен­траль­ный и   — впи­сан­ный. Зна­чит:

Ответ:

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой на­хож­де­ния абс­цис­сы вер­ши­ны па­ра­бо­лы, где a  — стар­ший ко­эф­фи­ци­ент урав­не­ния па­ра­бо­лы, b  — ко­эф­фи­ци­ент при x:

Под­ста­вим по­лу­чен­ное зна­че­ние в урав­не­ние функ­ции, по­лу­чим ор­ди­на­ту вер­ши­ны:

Ответ: (3; −17).

Обо­зна­чем точ­кой K точку пе­ре­се­че­ния бис­сек­три­сы и вы­со­ты. По свой­ству бис­сек­три­сы:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABH, ги­по­те­ну­зу AB обо­зна­чим за 5x, а катет AH за 3x, тогда из тео­ре­мы Пи­фа­го­ра най­дем, что BH  =  4x. Обо­зна­чим угол BAC как най­дем синус этого угла:

При­ме­ним тео­ре­му си­ну­сов: Под­ста­вим:

Ответ: 7,5.

Обо­зна­чем точ­кой K точку пе­ре­се­че­ния бис­сек­три­сы и вы­со­ты. По свой­ству бис­сек­три­сы:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BHC, ги­по­те­ну­зу BC обо­зна­чим за 13x, а катет HC за 5x, тогда из тео­ре­мы Пи­фа­го­ра най­дем, что BH  =  12x. Обо­зна­чим угол BCH как най­дем синус этого угла:

При­ме­ним тео­ре­му си­ну­сов: Под­ста­вим:

Ответ: 26.

Абс­цис­сой точки на­зы­ва­ет­ся ко­ор­ди­на­та этой точки на оси OX в пря­мо­уголь­ной си­сте­ме ко­ор­ди­нат, в паре чисел, ко­ор­ди­на­те точки, абс­цис­са ука­зы­ва­ет­ся на пер­вом месте. Сле­до­ва­тель­но, от­ри­ца­тель­ная абс­цис­са у точки A. Таким об­ра­зом, вер­ный ответ ука­зан в пунк­те а).

Ответ: а).

так как опи­ра­ет­ся на диа­метр AB. Тогда тре­уголь­ник ABC  — пря­мо­уголь­ный. По свой­ству пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков

Ответ:

Так как AM  — ме­ди­а­на, то BM  =  MC  =  2 см.

При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABM:

При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC:

Если AC  — диа­метр, то ра­ди­ус окруж­но­сти, по­стро­ен­ной на AC равен

Най­дем пло­щадь этой окруж­но­сти по фор­му­ле :

Ответ:

Ор­ди­на­той точки на­зы­ва­ет­ся ко­ор­ди­на­та этой точки на оси OY в пря­мо­уголь­ной си­сте­ме ко­ор­ди­нат, в паре чисел, ко­ор­ди­на­те точки, ор­ди­на­та ука­зы­ва­ет­ся на вто­ром месте. Сле­до­ва­тель­но, от­ри­ца­тель­ная ор­ди­на­та у точки B. Таким об­ра­зом, вер­ный ответ ука­зан в пунк­те б).

Ответ: б).