За­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки ABK и ABC по­доб­ны по двум углам, а зна­чит, их со­от­вет­ствен­ные сто­ро­ны от­но­сят­ся оди­на­ко­во. Нас ин­те­ре­су­ет ра­вен­ство Найдём AB:

Далее найдём пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABK по фор­му­ле где угол α лежит между сто­рон a и b:

Ответ: 27.

За­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки ACK и ABC по­доб­ны по двум углам, а зна­чит, их со­от­вет­ствен­ные сто­ро­ны от­но­сят­ся оди­на­ко­во. Нас ин­те­ре­су­ет ра­вен­ство Найдём AC:

Далее найдём пло­щадь тре­уголь­ни­ка ACK по фор­му­ле где угол α лежит между сто­рон a и b:

Ответ: 6.

Как от­рез­ки, про­ве­ден­ные из цен­тра окруж­но­сти к точке на ней, то есть ра­ди­у­сы,

так как оба этих угла опи­ра­ют­ся на одну дугу,   — цен­траль­ный и   — впи­сан­ный. Зна­чит:

Ответ:

Угол KFE равен 180° – 135° – 15° = 30°. По тео­ре­ме си­ну­сов:

Ответ: 1.

Угол KEF равен 180° − 135° − 15° = 30°. По тео­ре­ме си­ну­сов

Ответ: 2 см.

Пусть сто­ро­ны и углы рас­по­ло­же­ны так, как на ри­сун­ке (см. рис). Найдём ко­си­нус угла A из ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства:

Те­перь найдём пло­щадь S тре­уголь­ни­ка ABC:

Ответ: 32 см².

Пусть сто­ро­ны и углы рас­по­ло­же­ны так, как на ри­сун­ке (см. рис).

Найдём ко­си­нус угла A из ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства:

Те­перь найдём пло­щадь S тре­уголь­ни­ка ABC:

Ответ: 25 см².

Ис­поль­зу­ем фор­му­лу Ге­ро­на где p  — по­лу­пе­ри­метр, в нашем слу­чае рав­ный 8. По­лу­чим

Ответ: 12.

Ис­поль­зу­ем фор­му­лу Ге­ро­на где p  — по­лу­пе­ри­метр, в нашем слу­чае рав­ный 18. По­лу­чим

Ответ: 60.

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки ABD и ACD. Они имеют общее ос­но­ва­ние и рав­ные вы­со­ты (см.рис.). Зна­чит, их пло­ща­ди равны. Так как пло­щадь тре­уголь­ни­ка AOD вхо­дит в пло­щадь каж­до­го из рас­смот­рен­ных тре­уголь­ни­ков, эту пло­щадь можно эли­ми­ни­ро­вать. Таким об­ра­зом, S_AOB = S_DOC. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Про­ведём CH  — вы­со­ту тра­пе­ции.

По тео­ре­ме Фа­ле­са BC  =  DK. Зна­чит, тогда

и

Зна­чит, S_ACK  =  S_ABCD, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Обо­зна­чем точ­кой K точку пе­ре­се­че­ния бис­сек­три­сы и вы­со­ты. По свой­ству бис­сек­три­сы:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABH, ги­по­те­ну­зу AB обо­зна­чим за 5x, а катет AH за 3x, тогда из тео­ре­мы Пи­фа­го­ра най­дем, что BH  =  4x. Обо­зна­чим угол BAC как най­дем синус этого угла:

При­ме­ним тео­ре­му си­ну­сов: Под­ста­вим:

Ответ: 7,5.

Обо­зна­чем точ­кой K точку пе­ре­се­че­ния бис­сек­три­сы и вы­со­ты. По свой­ству бис­сек­три­сы:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BHC, ги­по­те­ну­зу BC обо­зна­чим за 13x, а катет HC за 5x, тогда из тео­ре­мы Пи­фа­го­ра най­дем, что BH  =  12x. Обо­зна­чим угол BCH как най­дем синус этого угла:

При­ме­ним тео­ре­му си­ну­сов: Под­ста­вим:

Ответ: 26.

Так как AM  — ме­ди­а­на, то BM  =  MC  =  2 см.

При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABM:

При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC:

Если AC  — диа­метр, то ра­ди­ус окруж­но­сти, по­стро­ен­ной на AC равен

Най­дем пло­щадь этой окруж­но­сти по фор­му­ле :

Ответ:

Так как AM  — ме­ди­а­на, то BM  =  MC  =  2 см.

При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABM:

При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC:

Если AC  — диа­метр, то ра­ди­ус окруж­но­сти, по­стро­ен­ной на AC равен

Най­дем пло­щадь этой окруж­но­сти по фор­му­ле :

Ответ:

Так как MK  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка, то и   — общий для тре­уголь­ни­ков CMK и CAB. Тогда по­лу­ча­ем и

Таким об­ра­зом, тре­уголь­ник CMK по­до­бен тре­уголь­ни­ку CAB, от­ку­да

Для пло­ща­дей по­доб­ных тре­уголь­ни­ков верны от­но­ше­ния:

Ответ:

Как сред­няя линия тре­уголь­ни­ка и   — общий для тре­уголь­ни­ков AMK и ACB. Так как MK  — сред­няя линия, то и

Таким об­ра­зом, тре­уголь­ник AMK по­до­бен тре­уголь­ни­ку ACB, от­ку­да

Для пло­ща­дей по­доб­ных тре­уголь­ни­ков верны от­но­ше­ния:

Ответ:

По тео­ре­ме си­ну­сов: см².

Ответ: 9 см².

По тео­ре­ме си­ну­сов:

см².

Ответ: 10 см².