Ре­ше­ние. Тре­уголь­ни­ки ADO и BCO по­доб­ны по двум углам:

Угол BCA равен углу CAD, так как они на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных ос­но­ва­ни­ях тра­пе­ции. Угол BOC равен углу AOD, так как они вер­ти­каль­ные. Тогда от­ку­да Пусть AO  =  x. Тогда Так как AC  =  AO + OC, по­лу­ча­ем AC  =  6 + 3  =  9.

Ответ: 9.

Ре­ше­ние. Тре­уголь­ни­ки ADO и BCO по­доб­ны по двум углам:

Угол BCA равен углу CAD, так как они на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных ос­но­ва­ни­ях тра­пе­ции. Угол BOC равен углу AOD, так как они вер­ти­каль­ные. Тогда от­ку­да Пусть BO  =  x. Тогда Так как BD  =  BO + OD, по­лу­ча­ем, что BD  =  4 + 8  =  12.

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. ABCD  — пря­мо­уголь­ная тра­пе­ция. Про­ве­дем вы­со­ту CH, тогда AH  =  BC  =  9 по свой­ству пря­мо­уголь­ни­ка, зна­чит, HD  =  AD − AH  =  17 − 9  =  8 см².

Тре­уголь­ник CHD пря­мо­уголь­ный, при­ме­ним тео­ре­му Пи­фа­го­ра:

Най­дем пло­щадь тра­пе­ции по фор­му­ле:

Ответ: 78 см².

Ре­ше­ние. ABCD  — пря­мо­уголь­ная тра­пе­ция. Про­ве­дем вы­со­ту CH, тогда AH  =  BC  =  6 по свой­ству пря­мо­уголь­ни­ка, зна­чит, HD  =  AD − AH  =  18 − 6  =  12 см.

Тре­уголь­ник CHD пря­мо­уголь­ный, при­ме­ним тео­ре­му Пи­фа­го­ра:

Най­дем пло­щадь тра­пе­ции по фор­му­ле:

Ответ: 108 см².

Ре­ше­ние. Пло­щадь тра­пе­ции вы­счи­ты­ва­ет­ся по фор­му­ле где a, b  — ос­но­ва­ния, а h  — вы­со­та тра­пе­ции. Обо­зна­чим мень­шее ос­но­ва­ние за x. Тогда боль­шее ос­но­ва­ние равно 5x. Под­ста­вим из­вест­ные зна­че­ния, по­лу­чим урав­не­ние: Таким об­ра­зом, мень­ше ос­но­ва­ние равно 4 см. Тогда боль­шее ос­но­ва­ние равно 5 · 4  =  20 см.

Ре­ше­ние. Пло­щадь тра­пе­ции вы­счи­ты­ва­ет­ся по фор­му­ле  · h, где a, b - ос­но­ва­ния, а h - вы­со­та тра­пе­ции. Обо­зна­чим мень­шее ос­но­ва­ние за x. Тогда боль­шее ос­но­ва­ние равно 3x.Под­ста­вим из­вест­ные зна­че­ния, по­лу­чим урав­не­ние: Таким об­ра­зом, мень­ше ос­но­ва­ние равно 4 см. Тогда боль­шее ос­но­ва­ние равно 3 · 4  =  12 см.

Ре­ше­ние. Про­ведём пря­мую CK па­рал­лель­но диа­го­на­ли BD, CK пе­ре­се­ка­ет AD в точке K, тогда BCKD  — па­рал­ле­ло­грамм по при­зна­ку. Зна­чит, угол AOK равен углу ACK как со­от­вет­ствен­ные при па­рал­лель­ных пря­мых CK и BD и се­ку­щей OC.

В тре­уголь­ни­ке ACK: CK  =  BD (по свой­ству па­рал­ле­ло­грам­ма), но BD  =  AС (по свой­ству рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции), зна­чит, CK  =  AC, тогда тре­уголь­ник ACK  — пря­мо­уголь­ный и рав­но­бед­рен­ный. Найдём ка­те­ты по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Тогда пло­щадь тре­уголь­ни­ка ACK:

Ответ: 100 см².

Ре­ше­ние. Про­ведём CK || BD, CK пе­ре­се­ка­ет AD в точке K, тогда BCKD  — па­рал­ле­ло­грамм по при­зна­ку. Зна­чит, угол AOD равен углу ACK как со­от­вет­ствен­ные при CK || BD и се­ку­щей OC. В тре­уголь­ни­ке ACK: AK = AD + DK = 20; CK = BD (по свой­ству па­рал­ле­ло­грам­ма), но BD = AС (по свой­ству рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции), зна­чит, CK = AC, тогда тре­уголь­ник ACK  — пря­мо­уголь­ный и рав­но­бед­рен­ный. Найдём ка­те­ты по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ACK, так как тре­уголь­ник ACD для этих фигур яв­ля­ет­ся общим, а тре­уголь­ни­ки ABC и CDK рав­но­ве­ли­ки, так как у них равны ос­но­ва­ния BC и DK и вы­со­ты, про­ведённые к ним. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ACK

Ответ: 100 см².

Ре­ше­ние. 1)  Про­ве­дем вы­со­ту CH. Так как D  =  2R, то

Так как тра­пе­ция пря­мо­уголь­ная, то По тео­ре­ме о впи­сан­ной окруж­но­сти по­лу­ча­ем, что Тогда

2)  На­хо­дим и тогда

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ка CHD по­лу­ча­ем, что Под­ста­вим из­вест­ные зна­че­ния, по­лу­чим:

3)  Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой пло­ща­ди тра­пе­ции:

Ответ: 288.

Ре­ше­ние. 1.  Про­ве­дем вы­со­ту CH. Диа­метр Так как тра­пе­ция пря­мо­уголь­ная, то По тео­ре­ме о впи­сан­ной окруж­но­сти по­лу­ча­ем, что Тогда то есть

2.  За­ме­тим, что BC  =  AH. Тогда:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ка CHD по­лу­ча­ем, что Под­ста­вим из­вест­ные зна­че­ния, по­лу­чим:

Так как BC = AH, то по­лу­ча­ем

Тогда и BC  =  8.

3.  Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой пло­ща­ди тра­пе­ции:

Ответ: 192 см².

Ре­ше­ние. Тре­уголь­ник CDA  — рав­но­бед­рен­ный, так как по усло­вию CD  =  AD, зна­чит, углы CAD и DCA равны. Угол DAC равен углу BCA, так как они на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных ос­но­ва­ни­ях тра­пе­ции, а зна­чит, диа­го­наль AC  — бис­сек­три­са угла BCD, тогда по свой­ству бис­сек­три­сы: Так как BO : OD  =  3 : 13, то BC : CD  =  3 : 13.

Рис. 1

Рис. 2

Обо­зна­чим сто­ро­ну BC за 3x, тогда AD  =  AB  =  DC  =  13x. Про­ве­дем вы­со­ты CH и BM. Так как AM  =  HD, най­дем AM: AM  =  HD  =  (AD − MH) : 2  =  (AD − BC) : 2. Имеем: AM  =  (13x − 3x) : 2  =  5x. Най­дем BM по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: Под­ста­вим и по­лу­чим, что BM  =  12x. Так как по усло­вию BM  =  24, то x  =  2. Най­дем пло­щадь:

Ответ: 384.

Ре­ше­ние.

Тре­уголь­ник CBA  — рав­но­бед­рен­ный так как по усло­вию AB  =  BC, зна­чит, углы BCA и BAC равны. Угол CAD равен углу BCA так как они на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных ос­но­ва­ни­ях тра­пе­ции, а зна­чит, диа­го­наль AC  — бис­сек­три­са угла BAD, тогда по свой­ству бис­сек­три­сы: Так как BO : OD  =  5 : 11, то AB : AD  =  5 : 11.

Обо­зна­чим сто­ро­ну AD за 11x, тогда BC  =  AB  =  DC  =  5x. Про­ве­дем вы­со­ты CH и BM. Так как AM  =  HD, най­дем AM: AM  =  (AD − MH) : 2  =  (AD − BC) : 2. Имеем: AM  =  (11x − 5x) : 2  =  3x. Най­дем BM по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: Под­ста­вим и по­лу­чим, что BM  =  4x. Так как по усло­вию BM  =  20, то x  =  5. Най­дем пло­щадь:

Ответ: 800.

Ре­ше­ние. Пусть m  — сред­няя линия тра­пе­ции с ос­но­ва­ни­я­ми a  =  8 и b  =  14. По опре­де­ле­нию сред­няя линия тра­пе­ции па­рал­лель­на ос­но­ва­ни­ям и равна их по­лу­сум­ме, най­дем ее длину:

Ответ: 11 см.

Ре­ше­ние. Пусть m  — сред­няя линия тра­пе­ции с ос­но­ва­ни­я­ми a=6 и b=18. По опре­де­ле­нию сред­няя линия тра­пе­ции па­рал­лель­на ос­но­ва­ни­ям и равна их по­лу­сум­ме, най­дем ее длину:

Ответ: 12 см.

Ре­ше­ние.

Диа­го­на­ли делят тра­пе­цию на че­ты­ре тре­уголь­ни­ка, два из ко­то­рых рав­но­ве­ли­ки(тре­уголь­ни­ки ABO и COD, так как они при­ле­жат к бо­ко­вым сто­ро­нам), а два дру­гих по­доб­ны. Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков BOC и DOA сле­ду­ют от­но­ше­ния:

Тре­уголь­ни­ки AOB и COB имеют общую вы­со­ту, про­ве­ден­ную из точки B, тогда от­но­ше­ние их пло­ща­дей равно от­но­ше­нию со­от­вет­ству­ю­щих ос­но­ва­ний:

По тео­ре­ме о пло­ща­дях по­доб­ных тре­уголь­ни­ков имеем от­но­ше­ния:

Пло­щадь всей тра­пе­ции равна сумме пло­ща­дей всех тре­уголь­ни­ков, со­дер­жа­щих­ся в ней, то есть:

Ответ:

Ре­ше­ние.

Диа­го­на­ли делят тра­пе­цию на че­ты­ре тре­уголь­ни­ка, два из ко­то­рых рав­но­ве­ли­ки(тре­уголь­ни­ки ABO и COD, так как они при­ле­жат к бо­ко­вым сто­ро­нам), а два дру­гих по­доб­ны. Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков BOC и DOA сле­ду­ют от­но­ше­ния:

Тре­уголь­ни­ки BOC и COD имеют общую вы­со­ту, про­ве­ден­ную из точки C, тогда от­но­ше­ние их пло­ща­дей равно от­но­ше­нию со­от­вет­ству­ю­щих ос­но­ва­ний:

По тео­ре­ме о пло­ща­дях по­доб­ных тре­уголь­ни­ков имеем от­но­ше­ния:

Пло­щадь всей тра­пе­ции равна сумме пло­ща­дей всех тре­уголь­ни­ков, со­дер­жа­щих­ся в ней, то есть

Ответ:

Ре­ше­ние. Про­ве­дем CK па­рал­лель­но BD, так как BC па­рал­лель­на DK, а CK па­рал­лель­на BD, то BDCK  — па­рал­ле­ло­грамм. тогда AK  =  BC + AD  = 12, так как сред­няя линия равна 6. Тре­уголь­ник ACK  — рав­но­бед­рен­ный и пря­мо­уголь­ный, ведь угол AOD  =  ACK  =  90°, BD  =  CK  — по свой­ству па­рал­ле­ло­грам­ма и AC  =  BD  — по свой­ству рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции. Найдём AC по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: Имеем: Найдём пло­щадь тре­уголь­ни­ка ACK: Под­ста­вим и по­лу­чим, что S_ACK  =  36. Пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ACK так как тре­уголь­ни­ки ABC и CDK равны, по­это­му S_ABCD  =  36.

Ответ: 36.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем CK па­рал­лель­но BD, так как BC па­рал­лель­на DK, а CK па­рал­лель­на BD, то BDCK  — па­рал­ле­ло­грамм. тогда AK  =  BC + AD  = 16, так как сред­няя линия равна 8. Тре­уголь­ник ACK  — рав­но­бед­рен­ный и пря­мо­уголь­ный, ведь угол AOD  =  ACK  =  90°, BD  =  CK  — по свой­ству па­рал­ле­ло­грам­ма и AC  =  BD  — по свой­ству рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции. Найдём AC по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: Имеем: Найдём пло­щадь тре­уголь­ни­ка ACK: Под­ста­вим и по­лу­чим, что S_ACK  =  64. Пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ACK так как тре­уголь­ни­ки ABC и CDK равны, по­это­му S_ABCD  =  64.

Ответ: 64.

Ре­ше­ние. В пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции мень­шая сто­ро­на яв­ля­ет­ся вы­со­той. где p  — по­лу­сум­ма ос­но­ва­ний, или сред­няя линия. Под­ста­вим из­вест­ные зна­че­ния в фор­му­лу:

Ре­ше­ние. В пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции мень­шая сто­ро­на яв­ля­ет­ся вы­со­той. где p - по­лу­сум­ма ос­но­ва­ний, или сред­няя линия. Под­ста­вим из­вест­ные зна­че­ния в фор­му­лу:

Ре­ше­ние. Ис­ход­ная тра­пе­ция изоб­ра­же­на на ри­сун­ке (см. рис).

Пусть мень­шее ос­но­ва­ние BC равно x, тогда боль­шее ос­но­ва­ние AD равно 2x. По­сколь­ку в тра­пе­цию впи­са­на окруж­ность, верно сле­ду­ю­щее ра­вен­ство:

от­ку­да AB + CD = 3x.

При этом вы­со­ты тра­пе­ции AB и CH равны двум ра­ди­у­сам впи­сан­ной в неё окруж­но­сти, то есть 8. Зна­чит, CD = 3x − 8. Также HD  =  2x − x = x.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке CHD:

По­лу­ча­ем, что BC = 6, AD = 12.

Найдём пло­щадь S тра­пе­ции ABCD:

Ответ: 72.

Ре­ше­ние. Ис­ход­ная тра­пе­ция изоб­ра­же­на на ри­сун­ке (см. рис).

Пусть мень­шее ос­но­ва­ние BC равно x, тогда боль­шее ос­но­ва­ние AD равно 2x. По­сколь­ку в тра­пе­цию впи­са­на окруж­ность, верно сле­ду­ю­щее ра­вен­ство:

от­ку­да AB + CD = 3x.

При этом вы­со­ты тра­пе­ции AB и CH равны двум ра­ди­у­сам впи­сан­ной в неё окруж­но­сти, то есть 16. Зна­чит, CD = 3x − 16. Также HD  =  2x − x = x.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке CHD:

По­лу­ча­ем, что BC = 12, AD = 24.

Найдём пло­щадь S тра­пе­ции ABCD:

Ответ: 288.

Ре­ше­ние. Сред­няя линия равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний, то есть MN  =  (AD + BC) : 2, в нашем слу­чае:

Ответ: 18.

Ре­ше­ние. Сред­няя линия равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний, то есть MN  =  (AD + BC) : 2, в нашем слу­чае:

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем NK  — вы­со­ту тра­пе­ции, и MO  — пер­пен­ди­ку­ляр к бо­ко­вой сто­ро­не, O  — центр окруж­но­сти.

Имеем

Так как тра­пе­ция опи­са­на, рав­но­бед­рен­ная, то

Имеем

В тре­уголь­ни­ке COD так как и CO  — бис­сек­три­са(центр впи­сан­ной окруж­но­сти лежит на бис­сек­три­се угла).

От­ку­да тре­уголь­ник COD  — пря­мо­уголь­ный,   — вы­со­та, про­ве­ден­ная к бис­сек­три­се, рав­ная квад­рат­но­му корню из про­из­ве­де­ния про­ек­ций ка­те­тов на ги­по­те­ну­зу, то есть:

тогда по­лу­ча­ем:

Ответ:

Ре­ше­ние. Про­ве­дем NK  — вы­со­ту тра­пе­ции, и MO  — пер­пен­ди­ку­ляр к бо­ко­вой сто­ро­не, O  — центр окруж­но­сти.

Имеем

Так как тра­пе­ция опи­са­на, рав­но­бед­рен­ная, то:

Имеем:

В тре­уголь­ни­ке COD так как и CO  — бис­сек­три­са(центр впи­сан­ной окруж­но­сти лежит на бис­сек­три­се угла).

От­ку­да, тре­уголь­ник COD  — пря­мо­уголь­ный,   — вы­со­та, про­ве­ден­ная к бис­сек­три­се, рав­ная квад­рат­но­му корню из про­из­ве­де­ния про­ек­ций ка­те­тов на ги­по­те­ну­зу, то есть

тогда по­лу­ча­ем:

Ответ:

Ре­ше­ние. Про­ве­дем вы­со­ту СМ и диа­метр FH, про­хо­дя­щую через центр впи­сан­ной окруж­но­сти. CM=FH, как па­рал­лель­ные от­рез­ки, за­клю­чен­ные между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми.

Так как окруж­ность впи­са­на в тра­пе­цию, то сто­ро­ны тра­пе­ции  — это ка­са­тель­ные к окруж­но­сти. Тогда по свой­ству ка­са­тель­ных KD  =  HD = 8 см. Ана­ло­гич­но, CF  =  CK  =  2 см.

FCMH  — пря­мо­уголь­ник по опре­де­ле­нию, так как FC па­рал­лель­на HM, так как они лежат в ос­но­ва­ни­ях тра­пе­ции; FH и CM од­но­вре­мен­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны к AD как па­рал­лель­ные вы­со­ты тра­пе­ции.

Тогда MD  =  HD − HM  =  10−2  =  8 см.

Тре­уголь­ник CDM  — пря­мо­уголь­ный, при­ме­ним для него тео­ре­му Пи­фа­го­ра:

Так как FH  — диа­метр, то AH  =  r  =  FH : 2  =  4 см.

Най­дем пло­щадь тра­пе­ции по фор­му­ле :

Ответ:

Ре­ше­ние. Про­ве­дем вы­со­ту СМ и диа­метр FH, про­хо­дя­щую через центр впи­сан­ной окруж­но­сти. CM  =  FH, как па­рал­лель­ные от­рез­ки, за­клю­чен­ные между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми.

Так как окруж­ность впи­са­на в тра­пе­цию, то сто­ро­ны тра­пе­ции  — это ка­са­тель­ные к окруж­но­сти. Тогда по свой­ству ка­са­тель­ных KD  =  HD  =  9 см. Ана­ло­гич­но, CF  =  CK  =  4 см.

FCMH  — пря­мо­уголь­ник по опре­де­ле­нию, так как FC па­рал­лель­на HM, так как они лежат в ос­но­ва­ни­ях тра­пе­ции; FH и CM од­но­вре­мен­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны к AD как па­рал­лель­ные вы­со­ты тра­пе­ции.

Тогда MD  =  HD − HM  =  9 − 4  =  5 см.

Тре­уголь­ник CDM  — пря­мо­уголь­ный, при­ме­ним для него тео­ре­му Пи­фа­го­ра:

Так как FH  — диа­метр, то AH  =  r  =  FH : 2  = 6 см.

Най­дем пло­щадь тра­пе­ции по фор­му­ле :

Ответ: