Пусть впи­сан­ный угол ABC равен x, тогда его со­от­вет­ству­ю­щий цен­траль­ный угол AOC равен 2x, по­сколь­ку углы опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу окруж­но­сти.

По усло­вию за­да­чи цен­траль­ный угол на 18° боль­ше впи­сан­но­го. Со­ста­вим и решим урав­не­ние:

Итак, впи­сан­ный угол ABC равен 18°.

Ответ: 18°.

Пусть впи­сан­ный угол ABC равен x, тогда его со­от­вет­ству­ю­щий цен­траль­ный угол AOC равен 2x, по­сколь­ку углы опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу окруж­но­сти.

По усло­вию за­да­чи цен­траль­ный угол на 24° боль­ше впи­сан­но­го. Со­ста­вим и решим урав­не­ние:

Итак, впи­сан­ный угол ABC равен 24°.

Ответ: 24°.

Синус угла  — от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ему ка­те­та к ги­по­те­ну­зе тре­уголь­ни­ка. Имеем:

Ответ:

Ко­си­нус угла  — от­но­ше­ние при­ле­жа­ще­го ка­те­та к ги­по­те­ну­зе тре­уголь­ни­ка. Имеем:

Ответ: б).

Про­тив боль­ше­го по ве­ли­чи­не угла в тре­уголь­ни­ке лежит боль­шая по длине сто­ро­на, а про­тив мень­шей сто­ро­ны  — мень­ший угол. Сле­до­ва­тель­но, сред­ний по ве­ли­чи­не угол тре­уголь­ни­ка лежит про­тив сред­ней по длине сто­ро­ны, сто­ро­ны дли­ной 7 см. При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов для в тре­уголь­ни­ке ABC(см. изоб­ра­же­ние).

Зна­чит,   =  60°.

Ответ: 60°.

Про­тив боль­ше­го по ве­ли­чи­не угла в тре­уголь­ни­ке лежит боль­шая по длине сто­ро­на, а про­тив мень­шей сто­ро­ны  — мень­ший угол. Сле­до­ва­тель­но, сред­ний по ве­ли­чи­не угол тре­уголь­ни­ка лежит про­тив сред­ней по длине сто­ро­ны, сто­ро­ны дли­ной 7 см. При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов для в тре­уголь­ни­ке ABC(см. изоб­ра­же­ние).

Зна­чит,   =  60°.

Ответ: 60°.

Пусть   =  x, тогда   =  3x.

Так как сумма смеж­ных углов равна 180°, то имеем:

По­лу­ча­ем, что   =  45°, тогда   =  45° · 3 = 135°

Ответ:45; 135.

Пусть тогда

Так как сумма смеж­ных углов равна 180°, то имеем:

По­лу­ча­ем, что тогда

Ответ: 60°, 120°.

Тео­ре­ма ко­си­ну­сов: квад­рат сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равен сумме квад­ра­тов двух дру­гих сто­рон без удво­ен­но­го про­из­ве­де­ния длин этих сто­рон и ко­си­ну­са угла между ними.

Зна­чит, вер­ное ра­вен­ство ука­за­но под бук­вой г).

Ответ: г).

Тео­ре­ма ко­си­ну­сов: в тре­уголь­ни­ке квад­рат сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равен сумме квад­ра­тов двух дру­гих сто­рон без удво­ен­но­го про­из­ве­де­ния длин этих сто­рон и ко­си­ну­са угла между ними. Зна­чит, вер­ное ра­вен­ство ука­за­но под бук­вой в).

Ответ: в).

Как от­рез­ки, про­ве­ден­ные из цен­тра окруж­но­сти к точке на ней, то есть ра­ди­у­сы,

так как оба этих угла опи­ра­ют­ся на одну дугу,   — цен­траль­ный и   — впи­сан­ный. Зна­чит:

Ответ:

Так как OK  — бис­сек­три­са то

Ответ:

Так как OF  — бис­сек­три­са то

Най­дем ве­ли­чи­ну угла KOF через раз­ность углов AOK и FOA:

Ответ:

Так как по усло­вию угол ост­рый и его синус по­ло­жи­тель­ный, то он лежит в пер­вой чет­вер­ти, а зна­чит, ко­си­нус тоже по­ло­жи­тель­ный, най­дем его через ос­нов­ное три­го­но­мет­ри­че­ское тож­де­ство: Под­ста­вим:

Найдём ко­тан­генс по фор­му­ле: под­ста­вим и по­лу­чим, что

Ответ:

Обо­зна­чем точ­кой K точку пе­ре­се­че­ния бис­сек­три­сы и вы­со­ты. По свой­ству бис­сек­три­сы:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABH, ги­по­те­ну­зу AB обо­зна­чим за 5x, а катет AH за 3x, тогда из тео­ре­мы Пи­фа­го­ра най­дем, что BH  =  4x. Обо­зна­чим угол BAC как най­дем синус этого угла:

При­ме­ним тео­ре­му си­ну­сов: Под­ста­вим:

Ответ: 7,5.

Так как по усло­вию угол ост­рый, то и синус, и ко­си­нус этого угла по­ло­жи­тель­ные. Най­дем синус этого угла через ос­нов­ное три­го­но­мет­ри­че­ское тож­де­ство: Под­ста­вим:

Найдём тан­генс по фор­му­ле: под­ста­вим и по­лу­чим, что

Ответ: 2,4.

Обо­зна­чем точ­кой K точку пе­ре­се­че­ния бис­сек­три­сы и вы­со­ты. По свой­ству бис­сек­три­сы:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BHC, ги­по­те­ну­зу BC обо­зна­чим за 13x, а катет HC за 5x, тогда из тео­ре­мы Пи­фа­го­ра най­дем, что BH  =  12x. Обо­зна­чим угол BCH как най­дем синус этого угла:

При­ме­ним тео­ре­му си­ну­сов: Под­ста­вим:

Ответ: 26.

так как опи­ра­ет­ся на диа­метр AB. Тогда тре­уголь­ник ABC  — пря­мо­уголь­ный. По свой­ству пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков

Ответ:

так как опи­ра­ет­ся на диа­метр AB. Тогда тре­уголь­ник ABC  — пря­мо­уголь­ный. По свой­ству пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков

Ответ:

Ис­поль­зу­ем фор­му­лу при­ве­де­ния:

Пра­виль­ный ва­ри­ант от­ве­та  — пункт г).

Ответ: г).