Ре­ше­ние. В любом па­рал­ле­ло­грам­ме сумма углов, при­ле­жа­щих к одной сто­ро­не, равна 180°, сле­до­ва­тель­но, угол B равен 180° − 70°  =  110°.

Ответ: г).

Ре­ше­ние. В любом па­рал­ле­ло­грам­ме сумма углов, при­ле­жа­щих к одной сто­ро­не, равна 180°, сле­до­ва­тель­но, угол D равен 180° − 50°  =  130°.

Ответ: в).

Ре­ше­ние. Пло­щадь ромба равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния длин диа­го­на­лей. Пусть одна часть длины диа­го­на­ли равна x см. Тогда длина мень­шей диа­го­на­ли равна 4x см, а длина боль­шей  — 5x см. Со­ста­вим и решим урав­не­ние пло­ща­ди ромба по дан­ным за­да­чи:

От­бра­сы­вая от­ри­ца­тель­ный ко­рень, по­лу­ча­ем x = 6 см. Зна­чит, длина мень­шей диа­го­на­ли равна 4 · 6 = 24 см.

Ответ: 24 см.

Ре­ше­ние. Пло­щадь ромба равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния длин диа­го­на­лей. Пусть одна часть длины диа­го­на­ли равна x см. Тогда длина мень­шей диа­го­на­ли равна 4x см, а длина боль­шей  — 5x см. Со­ста­вим и решим урав­не­ние пло­ща­ди ромба по дан­ным за­да­чи:

От­бра­сы­вая от­ри­ца­тель­ный ко­рень, по­лу­ча­ем x = 8 см. Зна­чит, длина боль­шей диа­го­на­ли равна 5 · 8= 40 см.

Ответ: 40 см.

Ре­ше­ние. Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Так как сто­ро­ны ромба равны, тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный, а зна­чит, его вы­со­та, коей яв­ля­ет­ся BO, по свой­ству диа­го­на­лей ромба, также ещё и ме­ди­а­на и бис­сек­три­са. Тогда угол ABO равен 60°, угол OAB равен 90° − 60°  =  30°. По свой­ству угла в 30° в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABO катет BO равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, а зна­чит, AB  =  10. Пе­ри­метр ромба равен

Ответ: 40.

Ре­ше­ние. Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Так как сто­ро­ны ромба равны, тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный, а зна­чит, его вы­со­та, коей яв­ля­ет­ся BO, по свой­ству диа­го­на­лей ромба, также ещё и ме­ди­а­на и бис­сек­три­са. Тогда угол ABO равен 60°, угол OAB равен 90° − 60°  =  30°. По свой­ству угла в 30° в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABO катет BO равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, а зна­чит, AB  =  8. Пе­ри­метр ромба равен

Ответ: 32.

Ре­ше­ние. На ри­сун­ке ABCD  — ромб, AC  — его диа­го­наль, BH  — вы­со­та (см. рис).

Так как диа­го­на­ли ромба яв­ля­ют­ся бис­сек­три­са­ми его углов, в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABH (BH  — вы­со­та) AM яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой.

По­сколь­ку бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка делит сто­ро­ну, на ко­то­рую па­да­ет, в таком же от­но­ше­нии, в каком на­хо­дят­ся две дру­гие сто­ро­ны этого тре­уголь­ни­ка, имеем:

или, ис­хо­дя из того что MB > HM:

При­мем AB как 10x, AH  — как 6x. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ABH:

По­это­му сто­ро­на AB равна 20 см.

Пе­ри­метр ромба равен его сто­ро­не, взя­той 4 раза. Сле­до­ва­тель­но, пе­ри­метр ABCD равен 80 см.

Ответ: 80 см.

Ре­ше­ние. На ри­сун­ке ABCD  — ромб, AC  — его диа­го­наль, BH  — вы­со­та (см. рис). Так как диа­го­на­ли ромба яв­ля­ют­ся бис­сек­три­са­ми его углов, в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABH (BH  — вы­со­та) AM яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой. По­сколь­ку бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка делит сто­ро­ну, на ко­то­рую па­да­ет, в таком же от­но­ше­нии, в каком на­хо­дят­ся две дру­гие сто­ро­ны этого тре­уголь­ни­ка, имеем:

или, ис­хо­дя из того что MB > HM:

При­мем AB как 25x, AH  — как 15x. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ABH:

По­это­му сто­ро­на AB равна 50 см. Пе­ри­метр ромба равен его сто­ро­не, взя­той 4 раза. Сле­до­ва­тель­но, пе­ри­метр ABCD равен 200 см.

Ответ: 200 см.

Ре­ше­ние. Зная, что у пря­мо­уголь­ни­ка диа­го­на­ли равны и точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам, видим, что

 см. (см. рис.).

Тогда видно, что тре­уголь­ник AOD − рав­но­бед­рен­ный. Зна­чит, Так как и   — смеж­ные углы, Про­ве­дем те­перь AH пер­пен­ди­ку­ляр­но BD  — это и есть ис­ко­мое рас­сто­я­ние(см.рис.). Рас­смот­рим те­перь тре­уголь­ник AOH, в нем AH  — катет, ле­жа­щий про­тив угла в то есть рав­ный по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы AO, то есть рав­ный 3.(см.рис.).

Ответ: 3 см.

Ре­ше­ние. Зная, что у пря­мо­уголь­ни­ка диа­го­на­ли равны и точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам, видим, что см. (см. рис.).

Тогда видно, что тре­уголь­ник BOC − рав­но­бед­рен­ный. Зна­чит, Так как и   — смеж­ные углы, Про­ве­дем те­перь CH пер­пен­ди­ку­ляр­но BD  — это и есть ис­ко­мое рас­сто­я­ние(см.рис.) Рас­смот­рим те­перь тре­уголь­ник COH, в нем CH  — катет, ле­жа­щий про­тив угла в то есть рав­ный по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы CO, то есть рав­ный 4.

Ответ: 4см.

Ре­ше­ние. Сто­ро­ны AK и CM па­рал­лель­ны, так яв­ля­ют­ся ча­стя­ми па­рал­лель­ных сто­рон AB и CD со­от­вет­ствен­но па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD. Про­ти­во­ле­жа­щие сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны, а зна­чит, равны и их по­ло­ви­ны, то есть AK  =  CM, тогда AKCM  — па­рал­ле­ло­грамм, так как две его про­ти­во­ле­жа­щие сто­ро­ны AK и CM па­рал­лель­ны и равны.

Ре­ше­ние. Сто­ро­ны KB и DM па­рал­лель­ны, так яв­ля­ют­ся ча­стя­ми па­рал­лель­ных сто­рон AB и CD со­от­вет­ствен­но па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD. Про­ти­во­ле­жа­щие сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны, а зна­чит, равны и их по­ло­ви­ны, то есть BK  =  DM, тогда KBMD  — па­рал­ле­ло­грамм, так как две его про­ти­во­ле­жа­щие сто­ро­ны BK и MD па­рал­лель­ны и равны.

Ре­ше­ние. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD угол A равен углу C, сто­ро­на AB равна сто­ро­не CD, как про­ти­во­ле­жа­щие углы и сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABK сто­ро­на BK лежит про­тив угла ве­ли­чи­ной 30°, по­это­му она со­став­ля­ет по­ло­ви­ну ги­по­те­ну­зы AB, то есть 4.

Найдём пло­щадь S ис­ход­но­го па­рал­ле­ло­грам­ма:

Ответ: 40 см².

Ре­ше­ние. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD угол A равен углу C, сто­ро­на AB равна сто­ро­не CD, как про­ти­во­ле­жа­щие углы и сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABK сто­ро­на BK лежит про­тив угла ве­ли­чи­ной 30°, по­это­му она со­став­ля­ет по­ло­ви­ну ги­по­те­ну­зы AB, то есть 5.

Найдём пло­щадь S ис­ход­но­го па­рал­ле­ло­грам­ма:

Ответ: 60 см².

Ре­ше­ние. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой пло­ща­ди квад­ра­та:

Тогда, зная, что сто­ро­на равна 1,2, по­лу­ча­ем, что S_{квад­ра­та} = 1,2² = 1,44.

Ответ: в

Ре­ше­ние. Пло­щадь квад­ра­та равна квад­ра­ту его сто­ро­ны. Зная, что сто­ро­на равна 1,4, по­лу­ча­ем, что

Ответ: а).

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что S_ABCD = AD · BH и S_ABCD = CD · BK. Тогда AD · BH = CD · BK. Имеем:

14 · 5 = CD ·  7 (см.рис.) см. Тогда

Ответ: 48 см.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что S_ABCD = AD · BH и S_ABCD = CD · BK. Тогда AD · BH = CD · BK. Имеем:

9 · 4 = CD · 6 (см.рис.) см. Тогда

Ответ: 30 см.

Ре­ше­ние. Пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка равен удво­ен­ной сумме двух его смеж­ных сто­рон, тогда вто­рая сто­ро­ная пря­мо­уголь­ни­ка равна 16. Найдём пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, пе­ре­мно­жив его смеж­ные сто­ро­ны, а затем из­влечём из по­лу­чен­но­го про­из­ве­де­ния ко­рень, чтобы найти сто­ро­ну квад­ра­та с ис­ко­мой пло­ща­дью:

Ответ: 8.

Ре­ше­ние. Пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка равен удво­ен­ной сумме двух его смеж­ных сто­рон, тогда вто­рая сто­ро­ная пря­мо­уголь­ни­ка равна 4. Найдём пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, пе­ре­мно­жив его смеж­ные сто­ро­ны, а затем из­влечём из по­лу­чен­но­го про­из­ве­де­ния ко­рень, чтобы найти сто­ро­ну квад­ра­та с ис­ко­мой пло­ща­дью:

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка можно пред­ста­вить в виде суммы длин всех его сто­рон:

Длины диа­го­на­лей пря­мо­уголь­ни­ка равны и де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния по­по­лам, зна­чит:

Длины про­ти­во­по­лож­ных сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка равны, зна­чит:

Итак:

Ответ: 24 см.

Ре­ше­ние. Пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка  — это сумма длин всех его сто­рон:

Длины диа­го­на­лей пря­мо­уголь­ни­ка равны и де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния по­по­лам, зна­чит:

Длины про­ти­во­по­лож­ных сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка равны, зна­чит:

Итак, имеем:

Ответ:

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что углы DAN и CMN равны как со­от­вет­ствен­ные, углы CMN и AMB равны как вер­ти­каль­ные, а углы MNC и NAB  — как на­крест ле­жа­щие углы, тогда тре­уголь­ни­ки AND, MNC и MAB по­доб­ны по трём углам. Пло­ща­ди по­доб­ных тре­уголь­ни­ков от­но­сят­ся как квад­ра­ты от­но­ше­ния их сто­рон, тогда пло­щадь тре­уголь­ни­ка AND равна а пло­щадь тре­уголь­ни­ка MAB равна В таком слу­чае пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна

Ответ: 240.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что углы DAN и CMN равны как со­от­вет­ствен­ные, углы CMN и AMB равны как вер­ти­каль­ные, а углы MNC и NAB  — как на­крест ле­жа­щие углы, тогда тре­уголь­ни­ки AND, MNC и MAB по­доб­ны по трём углам. Пло­ща­ди по­доб­ных тре­уголь­ни­ков от­но­сят­ся как квад­ра­ты от­но­ше­ния их сто­рон, тогда пло­щадь тре­уголь­ни­ка AND равна а пло­щадь тре­уголь­ни­ка MAB равна В таком слу­чае пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна

Ответ: 720.

Ре­ше­ние. Так как то AD  =  17 − AB.

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма, чтобы найти его сто­ро­ны:

По смыс­лу за­да­чи по­лу­чим, что AB  =  5, AD  =  12. Най­дем ко­си­нус угла ABC: Ис­поль­зуя фор­му­лы при­ве­де­ния, по­лу­чим:

С по­мо­щью ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства най­дем

При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC:

Ответ:

Ре­ше­ние. Так как то AD=17-AB.

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма, чтобы найти его сто­ро­ны:

По смыс­лу за­да­чи по­лу­чим, что AB=12, AD=5.

Най­дем ко­си­нус угла ABC:

Ис­поль­зуя фор­му­лы при­ве­де­ния, по­лу­чим:

С по­мо­щью ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства най­дем :

При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC:

Ответ:

Ре­ше­ние. 1)  На­не­сем дан­ные на чер­теж.

В тре­уголь­ни­ке BHD по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем HD:

2)  Зная пе­ри­метр, най­дем сто­ро­ны ромба:

AH=AD − HD, тогда AH = 25 − 3x.

В тре­уголь­ни­ке ABH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

тогда имеем:

Тогда BH = 4 · 6 = 24.

3)  Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой пло­ща­ди ромба:

Ответ: 600

Ре­ше­ние. 1)  На­не­сем дан­ные на чер­теж.

В тре­уголь­ни­ке AHC по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем HC:

2)  Зная пе­ри­метр, най­дем сто­ро­ны ромба:

HD = HC − CD, тогда HD = 4x − 50.

В тре­уголь­ни­ке ADH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра тогда имеем:

Тогда AH=3 · 16=48.

3)  Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой пло­ща­ди ромба:

Ответ: 2400

Ре­ше­ние. Так как ABCD  — па­рал­ле­ло­грамм, то его сто­ро­ны по­пар­но равны, а имен­но: Зная CD, най­дем BC:

Тогда

Ответ:

Ре­ше­ние. Так как ABCD  — па­рал­ле­ло­грамм, то его сто­ро­ны по­пар­но равны, а имен­но: AB  =  CD, BC  =  AD. Зная AB, най­дем BC:

Тогда

Ответ:

Ре­ше­ние. Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка на­хо­дит­ся по фор­му­ле Так как нам из­вест­на пло­щадь и одна из сто­рон, най­дем дру­гую: Под­ста­вим и по­лу­чим, что вто­рая сто­ро­на равна 6, тогда пе­ри­метр равен: 2 · (6 + 7)  =  26.

Ответ: 26.

Ре­ше­ние. Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка на­хо­дит­ся по фор­му­ле Так как нам из­вест­на пло­щадь и одна из сто­рон, най­дем дру­гую: Под­ста­вим и по­лу­чим, что вто­рая сто­ро­на равна 4, тогда пе­ри­метр равен: 2 · (9 + 4)  =  26.

Ответ: 26.

Ре­ше­ние. Пусть x  — одна часть, x>0. Тогда

как од­но­сто­рон­ние при BC||AD, AB  — се­ку­щая в па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD.

Тогда имеем:

Вы­чис­лим гра­дус­ные меры обоих углов:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть x  — одна часть, x>0. Тогда

как од­но­сто­рон­ние при BC||AD, AB  — се­ку­щая в па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD.

Тогда имеем:

Вы­чис­лим гра­дус­ные меры обоих углов:

Ответ:

Ре­ше­ние. 1)  Имеем: (свой­ство ромба). Тогда Так как дан ромб, BC = DC = 6, сле­до­ва­тель­но, Тогда

Зна­чит, тре­уголь­ник BCD рав­но­сто­рон­ний.

Тре­уголь­ник BOC = тре­уголь­ни­ку COD (BC = CD, CO общая, BO = OD). Тогда

2)  Имеем:

3)  По усло­вию CE : BE = 1 : 2, зна­чит, CE : BC = 1 : 3, тогда Имеем:

Ответ:

Ре­ше­ние. 1)  Имеем: (свой­ство ромба). Тогда Так как дан ромб, BC = DC = 8, сле­до­ва­тель­но,

Зна­чит, тре­уголь­ник BCD рав­но­сто­рон­ний.

Тре­уголь­ник BOC равен тре­уголь­ни­ку COD (BC = CD, CO общая, BO = OD). Тогда

2)  Имеем:

3)  По усло­вию CE : BE = 1 : 3, зна­чит, CE : BC = 1 : 4, тогда Имеем:

Ответ:

Ре­ше­ние. Так как пло­щадь  — это про­из­ве­де­ние длины и ши­ри­ны, а длина на 30 м боль­ше ши­ри­ны, пра­виль­ный ответ будет под бук­вой а).

Ответ: а).

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что так как они од­но­сто­рон­ние, тогда угол

Зна­чит, по тео­ре­ме о сумме углов тре­уголь­ни­ка угол Тогда

Но а Зна­чит,

Ответ: 48 см².

При­ме­ча­ние.

Во вто­рой части ре­ше­ния можно было пойти иным путём. Он пред­став­лен во ва­ри­ан­те 78.

Ре­ше­ние. Так как пло­щадь  — это про­из­ве­де­ние длины и ши­ри­ны, а длина на 20 м боль­ше ши­ри­ны, пра­виль­ный ответ будет под бук­вой б).

Ответ: б).

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что так как они од­но­сто­рон­ние, тогда угол

Зна­чит, по тео­ре­ме о сумме углов тре­уголь­ни­ка угол Тогда

Но а Зна­чит,

Ответ: 28 см².

При­ме­ча­ние.

Во вто­рой части ре­ше­ния можно было пойти иным путём. Знаем, что так как у тре­уголь­ни­ков общее ос­но­ва­ние и рав­ные вы­со­ты. А диа­го­наль BD делит ABCD на два рав­ных тре­уголь­ни­ка, зна­чит,

Ре­ше­ние. По свой­ству бис­сек­три­сы па­рал­ле­ло­грам­ма тре­уголь­ник ABK  — рав­но­бед­рен­ный. Тогда AB  =  BK  =  6.

 см.

Ответ: 32 см.

Ре­ше­ние. По свой­ству бис­сек­три­сы па­рал­ле­ло­грам­ма тре­уголь­ник ABK  — рав­но­бед­рен­ный. Тогда AB  =  BK  =  8. Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 44 см.