Ре­ше­ние. При­ведём к об­ще­му зна­ме­на­те­лю, до­мно­жив вто­рую дробь на a + 3, а тре­тью  — на a, после чего пре­об­ра­зу­ем, ис­поль­зуя фор­му­лы со­кращённого умно­же­ния:

Ответ:

Ре­ше­ние. При­ведём к об­ще­му зна­ме­на­те­лю, до­мно­жив вто­рую дробь на a + 4, а тре­тью  — на a, после чего пре­об­ра­зу­ем, ис­поль­зуя фор­му­лы со­кращённого умно­же­ния:

Ответ:

Ре­ше­ние. Для удоб­ства пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ние:

Корни чис­ли­те­ля: 0 и 4.

Корни зна­ме­на­те­ля: и 7.

Решим за­да­чу ме­то­дом ин­тер­ва­лов (см. рис):

от­ку­да и по­лу­ча­ем ответ.

Ответ: (−1,5; 0] [4; 7).

Ре­ше­ние. Для удоб­ства пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ние:

Корни чис­ли­те­ля: 0 и 5.

Корни зна­ме­на­те­ля: и 9.

Решим за­да­чу ме­то­дом ин­тер­ва­лов (см. рис):

от­ку­да и по­лу­ча­ем ответ.

Ответ: ( −3,5) [0; 5] (9; ).

Ре­ше­ние. Тре­уголь­ни­ки ADO и BCO по­доб­ны по двум углам:

Угол BCA равен углу CAD, так как они на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных ос­но­ва­ни­ях тра­пе­ции. Угол BOC равен углу AOD, так как они вер­ти­каль­ные. Тогда от­ку­да Пусть AO  =  x. Тогда Так как AC  =  AO + OC, по­лу­ча­ем AC  =  6 + 3  =  9.

Ответ: 9.

Ре­ше­ние. Тре­уголь­ни­ки ADO и BCO по­доб­ны по двум углам:

Угол BCA равен углу CAD, так как они на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных ос­но­ва­ни­ях тра­пе­ции. Угол BOC равен углу AOD, так как они вер­ти­каль­ные. Тогда от­ку­да Пусть BO  =  x. Тогда Так как BD  =  BO + OD, по­лу­ча­ем, что BD  =  4 + 8  =  12.

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. До­мно­жим обе части пер­во­го не­ра­вен­ства на 12. По­лу­ча­ем:

Ре­ше­ни­ем по­лу­чен­ной си­сте­мы яв­ля­ет­ся про­ме­жу­ток

Ответ: [-30; 1).

Ре­ше­ние. До­мно­жим обе части вто­ро­го не­ра­вен­ства на 14. По­лу­ча­ем:

Ре­ше­ни­ем по­лу­чен­ной си­сте­мы яв­ля­ет­ся про­ме­жу­ток

Ответ: (-3; 1].

Ре­ше­ние. Про­тив боль­ше­го по ве­ли­чи­не угла в тре­уголь­ни­ке лежит боль­шая по длине сто­ро­на, а про­тив мень­шей сто­ро­ны  — мень­ший угол. Сле­до­ва­тель­но, сред­ний по ве­ли­чи­не угол тре­уголь­ни­ка лежит про­тив сред­ней по длине сто­ро­ны, сто­ро­ны дли­ной 7 см. При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов для в тре­уголь­ни­ке ABC(см. изоб­ра­же­ние).

Зна­чит,   =  60°.

Ответ: 60°.

Ре­ше­ние. Про­тив боль­ше­го по ве­ли­чи­не угла в тре­уголь­ни­ке лежит боль­шая по длине сто­ро­на, а про­тив мень­шей сто­ро­ны  — мень­ший угол. Сле­до­ва­тель­но, сред­ний по ве­ли­чи­не угол тре­уголь­ни­ка лежит про­тив сред­ней по длине сто­ро­ны, сто­ро­ны дли­ной 7 см. При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов для в тре­уголь­ни­ке ABC(см. изоб­ра­же­ние).

Зна­чит,   =  60°.

Ответ: 60°.

Ре­ше­ние. ABCD  — пря­мо­уголь­ная тра­пе­ция. Про­ве­дем вы­со­ту CH, тогда AH  =  BC  =  9 по свой­ству пря­мо­уголь­ни­ка, зна­чит, HD  =  AD − AH  =  17 − 9  =  8 см².

Тре­уголь­ник CHD пря­мо­уголь­ный, при­ме­ним тео­ре­му Пи­фа­го­ра:

Най­дем пло­щадь тра­пе­ции по фор­му­ле:

Ответ: 78 см².

Ре­ше­ние. ABCD  — пря­мо­уголь­ная тра­пе­ция. Про­ве­дем вы­со­ту CH, тогда AH  =  BC  =  6 по свой­ству пря­мо­уголь­ни­ка, зна­чит, HD  =  AD − AH  =  18 − 6  =  12 см.

Тре­уголь­ник CHD пря­мо­уголь­ный, при­ме­ним тео­ре­му Пи­фа­го­ра:

Най­дем пло­щадь тра­пе­ции по фор­му­ле:

Ответ: 108 см².

Ре­ше­ние. Под­ста­вим ко­ор­ди­на­ты точки в урав­не­ние функ­ции: Тогда ко­эф­фи­ци­ент k равен -12. По­лу­ча­ем урав­не­ние функ­ции: Гра­фик этой функ­ции  — ги­пер­бо­ла. По­стро­им ее по не­сколь­ким точ­кам:

x

y

Ре­ше­ние. Под­ста­вим ко­ор­ди­на­ты точки в урав­не­ние функ­ции: Тогда ко­эф­фи­ци­ент k равен –8. По­лу­ча­ем урав­не­ние функ­ции: Гра­фик этой функ­ции  — ги­пер­бо­ла. По­стро­им ее по не­сколь­ким точ­кам:

x
y

Ре­ше­ние. Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Тогда по тео­ре­ме о ка­са­тель­ной и се­ку­щей Имеем:

По смыс­лу за­да­чи x > 0, по­это­му x = 4, то есть MB = 4 см.

Ответ: 4 см.

Ре­ше­ние. Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Тогда по тео­ре­ме о ка­са­тель­ной и се­ку­щей Имеем:

По смыс­лу за­да­чи x > 0, по­это­му x = 4, то есть AD = 4 см.

Ответ: 4 см.

Ре­ше­ние. По­лу­ча­ем:

Ре­ше­ние. По­лу­ча­ем:

Ответ:

Ре­ше­ние. Рас­кро­ем скоб­ки и упро­стим:

Решим со­от­вет­ству­ю­щее квад­рат­ное урав­не­ние, чтобы найти зна­че­ния пе­ре­мен­ной, при ко­то­рых не­ра­вен­ство об­ра­ща­ет­ся в вер­ное ра­вен­ство:

Урав­не­ние задаёт на плос­ко­сти па­ра­бо­лу, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх, так как ко­эф­фи­ци­ент при стар­шем члене по­ло­жи­тель­ный. Не­ра­вен­ство же задаёт на плос­ко­сти об­ласть, огра­ни­чен­ную кор­ня­ми урав­не­ния, так как знак  — мень­ше или равно. Иными сло­ва­ми, от­ве­том яв­ля­ет­ся от­ре­зок

Ответ:

Ре­ше­ние. Рас­кро­ем скоб­ки и упро­стим:

Решим со­от­вет­ству­ю­щее квад­рат­ное урав­не­ние, чтобы найти зна­че­ния пе­ре­мен­ной, при ко­то­рых не­ра­вен­ство об­ра­ща­ет­ся в вер­ное ра­вен­ство:

Урав­не­ние задаёт на плос­ко­сти па­ра­бо­лу, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх, так как ко­эф­фи­ци­ент при стар­шем члене по­ло­жи­тель­ный. Не­ра­вен­ство же задаёт на плос­ко­сти об­ла­сти по левую сто­ро­ну от мень­ше­го из кор­ней и по пра­вую  — от боль­ше­го из них, так как знак  — боль­ше или равно. Иными сло­ва­ми, от­ве­том яв­ля­ют­ся два луча

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть v км/ч.  — соб­ствен­ная ско­рость лодки, a км/ч.  — ско­рость те­че­ния. Со­ста­вим таб­ли­цу по дан­ным за­да­чи:

	Рас­сто­я­ние, км.	Ско­рость, км/ч.	Время, ч.
По те­че­нию	48	v + a	3
Про­тив те­че­ния	48	v − a	4

Так как в обоих слу­ча­ях плыла одна и та же мо­тор­ная лодка, со­ста­вим и решим си­сте­му урав­не­ний:

Ско­рость те­че­ния реки равна 2 км/ч.

Ответ: 2 км/ч.

Ре­ше­ние. Пусть v км/ч.  — соб­ствен­ная ско­рость ка­те­ра, a км/ч.  — ско­рость те­че­ния. Со­ста­вим таб­ли­цу по дан­ным за­да­чи:

	Рас­сто­я­ние, км.	Ско­рость, км/ч.	Время, ч.
По те­че­нию	72	v + a	2
Про­тив те­че­ния	72	v − a	3

Так как в обоих слу­ча­ях плыл один и тот же катер, со­ста­вим и решим си­сте­му урав­не­ний:

Ско­рость те­че­ния реки равна 6 км/ч.

Ответ: 6 км/ч.

Ре­ше­ние. Так как угол AOB  —  цен­траль­ный, то он равен дуге на ко­то­рую опи­ра­ет­ся, то есть равен 90°. По­это­му тре­уголь­ник AOB пря­мо­уголь­ный и рав­но­бед­рен­ный, так как гра­дус­ная мера дуги AB равна 90°, OB и OA  — ра­ди­у­сы. Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: AB²  =  OA² + OB². Под­ста­вим и по­лу­чим: AB²  =  6² + 6²  =  72, тогда

Ответ:

Ре­ше­ние. Так как угол AOB  —  цен­траль­ный, то он равен дуге на ко­то­рую опи­ра­ет­ся, то есть равен 90°. По­это­му тре­уголь­ник AOB пря­мо­уголь­ный и рав­но­бед­рен­ный, так как гра­дус­ная мера дуги AB равна 90°, OB и OA  — ра­ди­у­сы. Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: AB²  =  OA² + OB². Под­ста­вим и по­лу­чим: AB²  =  8² + 8²  =  128, тогда

Ответ:

Ре­ше­ние. Вы­ра­зим x через y, под­ста­вив потом x во вто­рое урав­не­ние, по­лу­чив тем самым квад­рат­ное урав­не­ние на y:

Рас­кро­ем скоб­ки во вто­ром урав­не­нии и при­ме­ним тео­ре­му Виета для на­хож­де­ния кор­ней квад­рат­но­го урав­не­ния:

Под­ста­вим зна­че­ния y в урав­не­ние на x:

—  если y  =  −2, то x  =  −6;

—  если y  =  1, то x  =  6.

Ответ:

Ре­ше­ние. Вы­ра­зим x через y, под­ста­вив потом x во вто­рое урав­не­ние, по­лу­чив тем самым квад­рат­ное урав­не­ние на y:

Рас­кро­ем скоб­ки во вто­ром урав­не­нии и при­ме­ним тео­ре­му Виета для на­хож­де­ния кор­ней квад­рат­но­го урав­не­ния:

Под­ста­вим зна­че­ния y в урав­не­ние на x:

Если то если то

Ответ: (10;2),(1;-1).

Ре­ше­ние. Сто­ро­ны AK и CM па­рал­лель­ны, так яв­ля­ют­ся ча­стя­ми па­рал­лель­ных сто­рон AB и CD со­от­вет­ствен­но па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD. Про­ти­во­ле­жа­щие сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны, а зна­чит, равны и их по­ло­ви­ны, то есть AK  =  CM, тогда AKCM  — па­рал­ле­ло­грамм, так как две его про­ти­во­ле­жа­щие сто­ро­ны AK и CM па­рал­лель­ны и равны.

Ре­ше­ние. Сто­ро­ны KB и DM па­рал­лель­ны, так яв­ля­ют­ся ча­стя­ми па­рал­лель­ных сто­рон AB и CD со­от­вет­ствен­но па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD. Про­ти­во­ле­жа­щие сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны, а зна­чит, равны и их по­ло­ви­ны, то есть BK  =  DM, тогда KBMD  — па­рал­ле­ло­грамм, так как две его про­ти­во­ле­жа­щие сто­ро­ны BK и MD па­рал­лель­ны и равны.

Ре­ше­ние. Опре­де­лим нули функ­ции, решив вспо­мо­га­тель­ное урав­не­ние:

Рас­ста­вим знаки на оси (см. рис.).

Таким об­ра­зом, при при

Ответ: при при

Ре­ше­ние. Опре­де­лим нули функ­ции, решив вспо­мо­га­тель­ное урав­не­ние:

Рас­ста­вим знаки на оси (см. рис.).

Таким об­ра­зом, при при

Ответ: при при

Ре­ше­ние. До­мно­жим левую часть на x² − 36, не забыв усло­вие на зна­ме­на­тель:

Ответ: {−5}.

Ре­ше­ние. До­мно­жим левую часть на x² − 25, не забыв усло­вие на зна­ме­на­тель:

Ответ: {−4}.

Ре­ше­ние. Рас­кро­ем скоб­ки:

Ре­ше­ние. Рас­кро­ем скоб­ки:

Ответ:

Ре­ше­ние. Со­ста­вим урав­не­ние по усло­вию за­да­ния:

Ре­ше­ние. Со­ста­вим урав­не­ние по усло­вию за­да­ния:

Ответ: −1;

Ре­ше­ние. Пусть AB  — дан­ная хорда, O  — центр дан­ной окруж­но­сти. Тогда OH  — рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до хорды.

Тре­уголь­ник OAB  — рав­но­бед­рен­ный, так как OA  =  OB  =  r. Зна­чит, OH  — ме­ди­а­на, вы­со­та и бис­сек­три­са по свой­ству рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ков. Тогда AH  =  HB=24 : 2  =  12 см.

Тре­уголь­ник OHB  — пря­мо­уголь­ный, так как OH пер­пен­ди­ку­ляр­но AB как вы­со­та. При­ме­ним тео­ре­му Пи­фа­го­ра:

Вы­чис­лим длину окруж­но­сти по фор­му­ле :

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть AB  — дан­ная хорда, O  — центр дан­ной окруж­но­сти. Тогда OH  — рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до хорды.

Тре­уголь­ник OAB  — рав­но­бед­рен­ный, так как OA = OB = r. Зна­чит, OH  — ме­ди­а­на, вы­со­та и бис­сек­три­са по свой­ству рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ков. Тогда AH = HB = 16 : 2  =  8 см.

Тре­уголь­ник OHB  — пря­мо­уголь­ный, так как OH пер­пен­ди­ку­ляр­но AB как вы­со­та. При­ме­ним тео­ре­му Пи­фа­го­ра:

Вы­чис­лим длину окруж­но­сти по фор­му­ле : см.

Ответ: см.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что S_ABCD = AD · BH и S_ABCD = CD · BK. Тогда AD · BH = CD · BK. Имеем:

14 · 5 = CD ·  7 (см.рис.) см. Тогда

Ответ: 48 см.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что S_ABCD = AD · BH и S_ABCD = CD · BK. Тогда AD · BH = CD · BK. Имеем:

9 · 4 = CD · 6 (см.рис.) см. Тогда

Ответ: 30 см.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем каж­дое из не­ра­венств си­сте­мы и решим:

От­ве­том яв­ля­ет­ся чис­ло­вой по­лу­ин­тер­вал.

Ответ:

Ре­ше­ние. Упро­стим каж­дое не­ра­вен­ство си­сте­мы и решим её:

От­ве­том яв­ля­ет­ся чис­ло­вой по­лу­ин­тер­вал.

Ответ:

Ре­ше­ние. Вы­чис­лим зна­че­ние вы­ра­же­ния:

Ответ:

Ре­ше­ние. Вы­чис­лим:

Ответ:

Ре­ше­ние. Так как в пер­вый день ве­ло­ту­ри­сты про­еха­ли пути, то во вто­рой и тре­тий они про­еха­ли всего пути. Во вто­рой день они про­еха­ли 20% от то есть пути. Со­от­вет­ствен­но в тре­тий день они про­еха­ли По­сколь­ку в тре­тий день они про­еха­ли 24 км, то весь путь равен: км.

Ответ: 70 км.

Ре­ше­ние. Так как в пер­вый день ве­ло­ту­ри­сты про­еха­ли пути, то во вто­рой и тре­тий они про­еха­ли всего пути. Во вто­рой день они про­еха­ли 40% от то есть пути. Со­от­вет­ствен­но в тре­тий день они про­еха­ли По­сколь­ку в тре­тий день они про­еха­ли 36 км, то весь путь равен: км.

Ответ: 105 км.

Ре­ше­ние. До­мно­жим обе части урав­не­ния на 10, а затем упро­стим:

Ответ:

Ре­ше­ние. До­мно­жим обе части урав­не­ния на 6, а затем упро­стим:

Ответ:

Ре­ше­ние. Вы­ра­же­ние вида имеет смысл при Решим не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ни­ем будет яв­лять­ся от­ре­зок (см. изоб­ра­же­ние).

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ:

Ре­ше­ние. Вы­ра­же­ние вида имеет смысл при Тогда решим не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ни­ем будет яв­лять­ся от­ре­зок Сле­до­ва­тель­но,

Ответ:

Ре­ше­ние. Под­ста­вим y и x в урав­не­ние пря­мой, а затем решим си­сте­му из по­лу­чен­ных урав­не­ний

Ответ: −3 и 3.

Ре­ше­ние. Под­ста­вим y и x в урав­не­ние пря­мой, а затем решим си­сте­му из по­лу­чен­ных урав­не­ний

Ответ: −2 и 2.

Ре­ше­ние. Под­ста­вим из­вест­ные зна­че­ния в вы­ра­же­ние:

Ре­ше­ние. Под­ста­вим из­вест­ные зна­че­ния в вы­ра­же­ние:

Ре­ше­ние. Пе­ре­ве­дем время дви­же­ния ка­те­ра по те­че­нию в не­пра­виль­ную дробь:

Най­дем ско­рость ка­те­ра при дви­же­нии по те­че­нию и про­тив те­че­ния:

1)    — ско­рость ка­те­ра по те­че­нию.

2)    — ско­рость ка­те­ра про­тив те­че­ния.

Ско­рость ка­те­ра равна Тогда ско­рость те­че­ния равна

Ответ: 2,5 км/ч.

Ре­ше­ние. Пе­ре­ве­дем время дви­же­ния ка­те­ра по те­че­нию в не­пра­виль­ную дробь:

Най­дем ско­рость ка­те­ра при дви­же­нии по те­че­нию и про­тив те­че­ния:

1)    — ско­рость ка­те­ра по те­че­нию.

2)    — ско­рость ка­те­ра про­тив те­че­ния.

Раз­ни­ца ско­ро­сти ка­те­ра при дви­же­нии по те­че­нию и про­тив него равна удво­ен­ной ско­ро­сти те­че­ния, тогда она равна

Ответ: 2,5 км/ч.

Ре­ше­ние. До­мно­жим обе части урав­не­ния на (x − 2)², не забыв про усло­вие на зна­ме­на­тель:

Ответ: {−3; 4}.

Ре­ше­ние. До­мно­жим обе части урав­не­ния на (x − 3)², не забыв про усло­вие на зна­ме­на­тель:

Ответ: {−1; 5}.

Ре­ше­ние. Решим:

Ответ: 6

Ре­ше­ние. Решим:

Ответ: 7

Ре­ше­ние. До­мно­жим первую и вто­рую дроби на x − 1 и x + 1 со­от­вет­ствен­но, чтобы при­ве­сти урав­не­ние к об­ще­му зна­ме­на­те­лю. Затем до­мно­жим на него, при учёте того, что числа 1 и −1 не могут быть кор­ня­ми:

За­ме­тим, что сумма ко­эф­фи­ци­ен­тов по­лу­чен­но­го квад­рат­но­го урав­не­ния равна 0, а зна­чит, один из кор­ней равен 0, а дру­гой  — по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Виета  — равен от­но­ше­нию c к a, то есть −3. Ко­рень 1 не вхо­дит в об­ласть до­пу­сти­мых зна­че­ний.

Ответ:

Ре­ше­ние. До­мно­жим первую и вто­рую дроби на x − 3 и x + 3 со­от­вет­ствен­но, чтобы при­ве­сти урав­не­ние к об­ще­му зна­ме­на­те­лю. Затем до­мно­жим на него, при учёте того, что числа 3 и −3 не могут быть кор­ня­ми:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть одно число равно x, дру­гое число равно y. Решим со­от­вет­ству­ю­щую си­сте­му:

Зна­чит, это числа 36 и 25.

Ответ: 36; 25.

Ре­ше­ние. Пусть одно число равно x, дру­гое число равно y. Решим со­от­вет­ству­ю­щую си­сте­му:

Зна­чит, это числа 42 и 25.

Ответ: 42; 25.

Ре­ше­ние. Зная длину окруж­но­сти и вос­поль­зо­вав­шись фор­му­лой длины окруж­но­сти, най­дем ра­ди­ус. Пусть длина окруж­но­ти = D, тогда она же равна От­сю­да По фор­му­ле пло­ща­ди окруж­но­сти, а имен­но най­дем ее пло­щадь. Она равна Умно­жим те­перь ее на от­но­ше­ние угла сек­то­ра к об­ще­му углу окруж­но­сти, то есть на По­лу­ча­ем, что пло­щадь сек­то­ра равна

Ответ: 4

Ре­ше­ние. Зная длину окруж­но­сти и вос­поль­зо­вав­шись фор­му­лой длины окруж­но­сти, най­дем ра­ди­ус. Пусть длина окруж­но­ти = D, тогда она же равна От­сю­да По фор­му­ле пло­ща­ди окруж­но­сти, а имен­но най­дем ее пло­щадь. Она равна Умно­жим те­перь ее на от­но­ше­ние угла сек­то­ра к об­ще­му углу окруж­но­сти, то есть на По­лу­ча­ем, что пло­щадь сек­то­ра равна

Ответ: 20

Ре­ше­ние. Так как по усло­вию угол ост­рый и его синус по­ло­жи­тель­ный, то он лежит в пер­вой чет­вер­ти, а зна­чит, ко­си­нус тоже по­ло­жи­тель­ный, най­дем его через ос­нов­ное три­го­но­мет­ри­че­ское тож­де­ство: Под­ста­вим:

Найдём ко­тан­генс по фор­му­ле: под­ста­вим и по­лу­чим, что

Ответ:

Ре­ше­ние. Так как по усло­вию угол ост­рый, то и синус, и ко­си­нус этого угла по­ло­жи­тель­ные. Най­дем синус этого угла через ос­нов­ное три­го­но­мет­ри­че­ское тож­де­ство: Под­ста­вим:

Найдём тан­генс по фор­му­ле: под­ста­вим и по­лу­чим, что

Ответ: 2,4.

Ре­ше­ние. Пусть x  — из­на­чаль­но уста­нов­лен­ная норма сева, x>0. Пусть вся ра­бо­та равна 1, со­ста­вим таб­ли­цу по дан­ным за­да­чи:

v, га/день	t, день	A, га
x	16	1
	12	1

Так как объем ра­бо­ты не из­ме­нял­ся, то со­ста­вим урав­не­ние по дан­ным таб­ли­цы:

По­лу­ча­ем:

150 + 50  =  200 га/день  — за­се­и­ва­ла бри­га­да еже­днев­но.

200 · 12  =  2400 га  — всего было за­се­я­но.

Ответ: 200 га/день; 2400 га.

Ре­ше­ние. Пусть x  — из­на­чаль­но уста­нов­лен­ная норма по­сад­ки, x>0. Пусть вся ра­бо­та равна 1, со­ста­вим таб­ли­цу по дан­ным за­да­чи:

v, ящи­ков в день	t, день	A, ящики
x	8	1
	6	1

Так как объем ра­бо­ты не из­ме­нял­ся, то со­ста­вим урав­не­ние по дан­ным таб­ли­цы:

По­лу­ча­ем:

15 + 5  =  20 га/день  — вы­са­жи­ва­ла бри­га­да еже­днев­но.

20 · 6  =  120 га  — всего было вы­са­же­но.

Ответ: 20 ящи­ков в день; 120 ящи­ков.

Ре­ше­ние. Ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, по­это­му ги­по­те­ну­за дан­но­го равна двум ра­ди­у­сам, то есть 10 см. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём не­из­вест­ный катет b этого тре­уголь­ни­ка:

Те­перь по фор­му­ле найдём ра­ди­ус r впи­сан­ной в этот тре­уголь­ник окруж­но­сти:

Ответ: 2 см.

Ре­ше­ние. Ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, по­это­му ги­по­те­ну­за дан­но­го равна двум ра­ди­у­сам, то есть 10 см. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём не­из­вест­ный катет b этого тре­уголь­ни­ка:

Те­перь по фор­му­ле найдём ра­ди­ус r впи­сан­ной в этот тре­уголь­ник окруж­но­сти:

Ответ: 2 см.

Ре­ше­ние. Так как MK  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка, то и   — общий для тре­уголь­ни­ков CMK и CAB. Тогда по­лу­ча­ем и

Таким об­ра­зом, тре­уголь­ник CMK по­до­бен тре­уголь­ни­ку CAB, от­ку­да

Для пло­ща­дей по­доб­ных тре­уголь­ни­ков верны от­но­ше­ния:

Ответ:

Ре­ше­ние. Как сред­няя линия тре­уголь­ни­ка и   — общий для тре­уголь­ни­ков AMK и ACB. Так как MK  — сред­няя линия, то и

Таким об­ра­зом, тре­уголь­ник AMK по­до­бен тре­уголь­ни­ку ACB, от­ку­да

Для пло­ща­дей по­доб­ных тре­уголь­ни­ков верны от­но­ше­ния:

Ответ:

Ре­ше­ние. Со­кра­тим:

Ре­ше­ние. Со­кра­тим:

Ре­ше­ние. Ра­ди­ус, про­ве­ден­ный в точку ка­са­ния пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной, по­это­му в четырёхуголь­ни­ке ABOC углы ABO и ACO  — пря­мые. Зна­чит, угол BOC равен 180° - 64° = 116°. Тогда в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке BCO сумма углов, при­ле­жа­щих к ос­но­ва­нию, равна 64°. Так как они равны, ис­ко­мый угол равен 64° : 2 = 32°.

Ответ: 32°.

Ре­ше­ние. Ра­ди­ус, про­ве­ден­ный в точку ка­са­ния пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной, по­это­му в четырёхуголь­ни­ке AOCB углы BAO и BCO  — пря­мые. Зна­чит, угол ABC равен 180° − 118° = 62°. Тре­уголь­ни­ки BAO и BCO равны по трём сто­ро­нам, тогда угол ABO и угол CBO равны, как со­от­вет­ствен­но рав­ные эле­мен­ты со­от­вет­ствен­но рав­ных тре­уголь­ни­ков. Зна­чит, ис­ко­мый угол равен по­ло­ви­не угла ABC, равен 31°.

Ответ: 31°.

Ре­ше­ние. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­ла­ми со­кра­щен­но­го умно­же­ния для про­из­ве­де­ния вы­чис­ле­ний:

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­ла­ми со­кра­щен­но­го умно­же­ния для про­из­ве­де­ния вы­чис­ле­ний:

Ответ: 16.